§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии тока и траектории

В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические приемы задания движения.

Ближе всего к обычным способам задания движения подходит способ, связанный с именем Лагранжа.

Пусть некоторая частица жидкости или газа в момент времени занимала положение тогда ее координаты в любой момент можно рассматривать как функции от времени и параметров определяющих выбор данной индивидуальной частицы Более обще, вместо декартовых координат точки можно рассматривать любые ее криволинейные координаты связанные с соотношениями:

Положение любой частицы жидкости в момент времени задается выражениями ее декартовых координат через величины называемые переменными Лагранжа:

Задавая определенные значения параметрам получим обычные, принятые в кинематике точки уравнения движения данной индивидуальной частицы жидкости, откуда уже нетрудно найти уравнения траектории частицы и выражения проекции вектора ее скорости и ускорения

Производную по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа для индивидуально движущейся частицы жидкости, называют индивидуальной или еще субстанциональной (относящейся к определенной частице субстанции).

Другой, получивший более широкое применение прием задания движения среды, предложенный Эйлером, заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени и координат х, у, z точек пространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин , называют переменными Эйлера, движение среды, по Эйлеру, задается так:

В методе Лагранжа величины являются переменными координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты точек пространства, мимо которых проходят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера, которым, по преимуществу, и будем пользоваться.

Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на поверхность воды в канале насыпан легкий и хорошо видимый порошок, частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и не отставая от частиц воды. Тогда на фотографии, произведенной с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка изобразится в виде небольшой черточки, а черточки эти сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут линиями тока в момент производства снимка.

По самому определению, линия тока поля не совпадает с траекторией частицыпредставляющей пространственный след движущейся во времени частицы. Составим дифференциальные уравнения линии тока.

По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь следующую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

причем разыскиваются конечные связи между переменными а время играет роль фиксированного параметра; величины же представляют проекции произвольного бесконечно малого отрезка направленного вдоль линии тока.

В противоположность этому, проекции направленного элемента траектории представляют проекции перемещения частицы

жидкости за время

отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений траектории:

причем в этой системе уравнений координаты являются неизвестными функциями одного аргумента — времени.

Сравнивая уравнения (34) и (35), видим, что они принципиально отличаются друг от друга, а следовательно, линии тока и траектории не совпадают. Исключение представляет случай стационарного поля, т. е. случай, когда время не входит явно в задание скоростного поля (33). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (35), если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени не входящего явно при стационарном движении в остальные уравнения системы (35). Отсюда следует, что при стационарном движении, т. е. движении со стационарным полем скоростей, линии тока совпадают с траекториями.

К этому результату легко придти и из геометрических соображений.

Рис. 6.

На рис. 6 показаны построения линии тока и траектории проходящих через одну и ту же точку Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор V скорости точки откладываем на нем малый отрезок через точку проводим вектор скорости соответствующий

тому же моменту времени, на векторе откладываем отрезок и скорость точки и т. д., причем все это делаем в один и тот же фиксированный момент времени. При построении траектории вновь отмечаем скорость точки пользуясь произволом в выборе интервала времени, откладываем на ней отрезок по прошествии времени если поле не стационарно, скорость V точки несмотря на совпадение точки с точкой уже не будет равна скорости V, точки в момент Следовательно, траектория отклонится от линии тока, и кривые разойдутся в пространстве. Если же поле стационарно, то, несмотря на то, что время изменилось на скорости совпадающих точек будут одинаковы, точки и так же как их скорости, совпадут, и траектория ничем не будет отличаться от линии тока.

Векторная трубка, образованная линиями тока, называется трубкой тока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц, образующих в некоторый момент замкнутый контур, называется струей. Из предыдущего следует, что при стационарном движении трубка тока и струя, выходящие из одного и того же замкнутого контура, совпадают.