§ 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки произвольной формы (теория тонкого крыла)

Для оценочных расчетов крыловых профилей авиационного типа, имеющих, как правило, сравнительно малую относительную толщину и вогнутость, допустимо заменять эти профили дужкой, уравнение которой

можно, например, получить, строя полусумму ординат верхней и нижней поверхностей заданного крылового профиля

Задача об обтекании дужки малой вогнутости потоком, набегающим на дужку под небольшим углом атаки, может быть сравнительно легко разрешена для любой заданной формы дужки.

Рассмотрим обтекание дужки К, опирающейся своими концами на отрезок длины оси потоком со скоростью , образующей

с осью угол Сравним поставленную задачу с ранее разрешенной в § 40 задачей об аналогичном обтекании пластинки (рис. 92). причем и в том и к другом случае будем предполагать, что задняя кромка В с координатой z с обтекается безотрывно. В случае пластинки, согласно формуле (60), такого рода обтекание будет происходить с сопряженной скоростью

причем на самой пластинке сопряженная скорость будет иметь проекции:

где верхний знак относится к верхней поверхности пластинки, а нижний — к нижней.

Разобьем, как уже это делалось ранее, вектор скорости V на вектор скорости плоскопараллельного потока и вектор скорости возмущений Тогда в случае обтекания пластинки будем иметь:

Рассматривая обтекание дужки можно утверждать, что проекция полной скорости нормаль к дужке должна быть равна нулю вдоль дужки, так как дужка является линией тока; таким образом, получим

или, вводя угол между касательной к дужке и осью х,

Будем предполагать, что угол вдоль всей дужки весьма мал, так что

кроме того, в силу малости ординат дужки, будем считать граничное условие выполненным не на дужке, а на хорде Тогда предыдущее выражение нормальной к дужке компоненты скорости приведется к следующему граничному условию:

Таким образом, задача об обтекании слабо изогнутой дужки приводится к задаче разыскания возмущенной скорости по граничному условию (102) для проекции ее на ось и к очевидному условию при и то или, в комплексном виде, к разысканию голоморфной, исчезающей на бесконечности функции мнимая часть которой на отрезке действительной оси удовлетворяет заданному условию

или, что все равно, условию (102).

Условия (101) на пластинке соответствуют наличию отрезке вихревого слоя с интенсивностью (§ 40)

причем по основному свойству вихревого слоя:

Задача об обтекании дужки К является сообщением задачи об обтекании пластинки АВ. В случае обтекания дужки можно представить себе на отрезке вновь некоторый вихревой слой, но уже с неизвестной интенсивностью и нормальной составляющей скорости, заданной равенством (102), превращающимся во второе равенство (101) при

Рассматривая отрезок как вихревой слой, будем иметь, как и в случае пластики, следующие соотношении между касательными и нормальными компонентами скорости возмущения жидкости вихревым слоем сверху и снизу слоя:

настоящее время существуй несколько методов решения поставленной задачи. Можно было бы составить общее выражение сопряженной скорости потока, индуцированной вихревым слоем неизвестной интенсивности

совершив предельный переход в некоторую точку слоя, написать условие равенства мнимой части этого предельного значения скорости заданной функции согласно (102).

Такой путь решения задачи привел бы к необходимости решать относительно неизвестной интенсивности сингулярное интегральное

уравнение первого рода

Уравнение это будет иметь единственное решение, если потребовать дополнительно, чтобы т. е. чтобы задняя кромка пластинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростью. Решение указанного сингулярного уравнения может быть представлено несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея в виду, что после разыскания функции необходимо производить еще дополнительные и довольно сложные расчеты скорости, естественно обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить скорость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после этого при желании легко найдена как разность касательных скоростей на нижней и верхней границах слоя).

Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан Л. И. Седовым.

Представим искомую сопряженную скорость возмущенного движения как произведение

ограниченная голоморфная вне отрезка и исчезающая на бесконечности функция; при таком выборе вида функции V будут выполняться условия: безотрывного обтекания задней кромки На передней кромке скорость в общем случае обращается в бесконечность.

По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции через ее значения на контуре:

где контур выреза с двумя бесконечно малыми кружками, выделяющими точки разветвления подинтегральной функции

причем в верхней части разреза корня следует брать знак плюс и считать

на нижней половине разреза

тогда, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем привести равенство (105) к виду:

представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной скорости. Возвращаясь к полной скорости V и замечая, что в силу малости угла можно положить:

окончательно получим:

Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить главный вектор и главный момент сил давления потока на дужку. Для этого следует лишь произвести разложения в ряд по отрицательным степеням выражений:

и, подставив их в (108), сравнить результат подстановки с разложением сопряженной скорости (91) § 44. Таким образом, найдем значения основных коэффициентов разложения:

а следовательно, и общие выражения главного вектора и главного момента

В случае пластинки и равенства (109) приводят к известным уже формулам (с точностью до в первой степени):

Замечая, что, согласно основным допущениям теории тонкой дужки, в общем случае функция представляет малую величину того же порядка, что и видим, что является величиной второго порядка малости.

При заданной форме дужки величины могут быть вычислены по (109); при этом удобно пользоваться заменой неременной:

Заметим, что интегральные члены в правых частях выражений (109) для определяют влияние вогнутости дужки. Так, например, для дужки параболы

где — стрелка прогиба, будем иметь:

Как видно из этих формул, в принятом приближении относительная вогнутость увеличивает подъемную силу, но не влияет на момент относительно начала координат О, расположенного на середине отрезка Найдем положение фокуса для этого вспомним, что

откуда

Приравнивая нулю часть момента, зависящую от угла атаки, получим, как и ранее для пластинки:

момент относительно фокуса будет равен

Выражения для параболической дужки ничем не отличаются от аналогичных формул для слабо изогнутой дужки круга. Это и не удивительно, так как с выбранной степенью точности уравнение дужки круга совпадает с уравнением параболической дужки. Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнение дуги круга (§ 46)

в виде

Согласно формуле для направление бесциркуляционного обтекания совпадает с направлением прямой, проведенной через вершину дужки и заднюю кромку. Это свойство у круговой дужки сохраняется при любых вогнутостях.

Распределение скоростей по поверхности дужки можно вычислить по формуле (108). Следует только иметь в виду, что при интеграл, стоящий в правой части, становится несобственным и должен вычисляться в смысле своего главного значения и что, кроме того, предельный переход к точкам отрезка должен производиться по известным формулам анализа для предельных значений интеграла Коши.

Опуская промежуточные выкладки, приведем лишь окончательную формулу распределения скоростей в случае параболического отрезка:

Легко видеть, что при т. е. при набегающем потоке, направленном вдоль хорды дужки, обе острых кромки будут точками безотрывного обтекания с конечными скоростями. Такое обтекание дужки называют обтеканием с безударным входом. Подъемная сила в этом случае будет равна

т. е. станет пропорциональной относительной вогнутости дужки.

Действительно, при этом значении формула скоростей принимает вид:

и при

причем тангенс угла наклона касательной к дужке в точках с равен При малых углах тангенс может быть заменен на синус, и предыдущая формула показывает, что направление натекания и стекания струй на концах дужки совпадает с касательными к ней.