§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии при стационарном баротропном движении идеальной жидкости и газа

Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом совершает стационарное баротронное движение с функцией давлений Тогда, опуская в уравнении Громека (13) первый член, равный при стационарном Движении нулю, и умножая обе части (13) скалярно на вектор скорости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору V:

или, что все равно (вспомнить определение конвективной части индивидуальной производной в конце § 9 гл. I):

где символ означает производную, взятую вдоль траектории или линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства (51) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока величина сохраняет одно и то же значение:

Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к единице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную энергию поля объемного действия сил давления в данной точке потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось, отнесенную к единице массы полную механическую энергию потока в данной точке. Равенство (52) дает следующую формулировку теоремы Бернулли: при стационарном, баротропном движении идеальной жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил приведенная к единице массы полная механическая энергия потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории или линии тока.

Из уравнения Громека (13) в случае стационарного движения сразу следует постоянство полной механической энергии также и вдоль любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае стационарного движения первый член и умножая обе части (13) скалярно на получим:

где дифференциал дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует, что вдоль вихревой линии величина имеет одно и то же значение:

При стационарном движении вектор, равный произведению , образует потенциальное векторное поле, так как по (13)

при этом, как известно, через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей через эту точку. Эти ортогональные поверхности будут поверхностями уровня полной механической энергии, так как градиент энергии направлен по нормали к ним. Иными словами, полная механическая энергия сохраняет одинаковые значения на всех поверхностях, ортогональных к вектору в данной точке, или, что все равно, на поверхностях, касательные плоскости к которым в любой точке пространства содержат векторы Эти поверхности уровня полной механической энергии можно получить, взяв (рис. 32) какую-нибудь линию тока и проведя через все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую

Рис. 32.

поверхность—поверхность уровня энергии, проходящую через данную линию тока.

Можно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и через все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока образуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию. Следовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии тока, или поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут поверхностями уровня приведенной к единице массы полной механической энергии стационарного, баротропного потока идеальной жидкости, находящейся под действием потенциального поля объемных сил. Резюмируем предыдущие положения так: если в стационарном баротропном потоке идеальной жидкости, находящемся под действием потенциального поля объемных сил, поверхность тока совпадает с вихревой поверхностью, то эта поверхность служит поверхностью уровня приведенной к единице массы полной механической энергии потока.

Таким образом, все пространство, заполненное стационарно движущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическая энергия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе от одной поверхности к другой.

Точно так же константы, стоящие в правых частях равенств (52) и (53), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те линии тока, которые проходят через точки одной и той же вихревой линии, или вихревые линии, проведенные через точки одной и той же линии тока.

Значения констант в равенствах (52) и (53) определяются величиной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой линии. Еще раз подчеркнем, что в общем случае константы эти различны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и той же поверхности тока, являющейся одновременно и вихревой поверхностью.

Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство

то поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию стационарности,

т. е. полная механическая энергия сохраняет одно и то же значение 30 всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа.

Равенство (54) выполняется в следующих двух случаях:

1) - движение безвихревое, подробному рассмотрению этого важнейшего случая будут посвящены специальные главы курса;

- вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым. С винтовым движением приходится иметь дело при рассмотрении так называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха.

Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным, простейшим баротропическим процессам: 1) несжимаемому движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому, а следовательно, по предыдущему, и изэнтропическому движению.

В случае движения несжимаемой жидкости имеем по (9):

Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только сил веса и направляя вертикальную ось z вверх, получим:

Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид (символ обозначает сохранение величины вдоль линии тока или вихревой линии):

или, переходя от плотности к удельному весу

Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины и называются соответственно: скоростной пьезометрической и нивелирной высотами. Сумма этих высот называется гидравлической высотой.

Формула (57) приводит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока или вихревой линии.

Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике открытых русел (каналов, водосливов и др.).

Предположим, что силы веса в рассматриваемом случае движения имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково, например, движение газа по трубе, при котором вес газового столба,

определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц газа, пренебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим газ в движение.

В этом случае потенциал сил веса может быть опущен и уравнение Бернулли приобретает более простой вид:

Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезометрическим напором, второй — скоростным или динамическим напором, сумму их — полным напором.

В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии объемных сил полный напор, равный сумме скоростного и пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии тока или вихревой линии.

При изотермическом движении сжимаемого газа функция давлений по (72) гл. II равна (индекс О означает некоторую произвольную точку изотермы):

Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим уравнение Бернулли в виде:

или

Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического) движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59) или (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из предположений по уравнению Клапейрона следовало бы и что привело бы к постоянству скорости движения.

Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно, как было показано в § 21, и изэнтропическое движение идеального газа В этом важном для практики случае, если отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет к соотношению:

Функцию давления можно при желании заменить по формуле (22) на тепловую функцию тогда уравнение (61) перейдет в следующее:

аналогичное ранее выведенному из закона сохранения энергии уравнению (20).

Вычисляя, с другой стороны, функцию давления по уравнению изэнтропы

получим еще следующее выражение теоремы Бернулли:

Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии тока, где давление, плотность и температура принимают значения скорость движения равна нулю если в действительно происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображаемое адиабатическое движение идеального газа, переводящее его в состояние покоя, адиабатически его затормаживающее. Величины в этом случае называют соответственно давлением, плотностью и температурой адиабатически заторможенного газа. Используя выбранные таким образом постоянные величины можно переписать уравнение (62) в виде:

или

Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную формулу Сен-Венана и Вантцеля:

Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе формулы движения несжимаемой жидкости нельзя рассматривать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропического движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может происходить при постоянной температуре и энтропии. Условие несжимаемости при сопоставлении с условием изотермичности или изэнтропичности приводит к одинаковости давления, а следовательно, температуры и скорости во всем потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых формулы изэнтропического движения будут приближаться к формулам движения несжимаемого газа.

Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как ближайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число такого рода примеров.