§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии в движущейся вязкой среде

Работа внутренних сил трения (вязкости) вызывает в движущейся жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (диссипирующейся) в тепло. Чтобы найти количественное выражение этой мощности, применим прием, аналогичный принятому в § 24 гл. III для идеального газа.

Составим выражение изменения кинетической энергии в некотором объеме жидкости ограниченном поверхностью а:

здесь представляет величину отнесенной к единице массы мощности всех внутренних поверхностных сил, включая сюда как давления, так и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами тяготения, пренебрегаем).

Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему образом, найдем:

Используя произвольность выбора объема получим то же выражение в дифференциальной форме:

С другой стороны, умножая скалярно обе части основного динамического уравнения "в напряжениях"

на V, будем иметь:

Вычитая почленно обе части уравнения (53) из уравнения получим искомое выражение в виде:

Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты заменены на

Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл. I обозначение дифференциального тензора представляет инвариантную комбинацию компонент тензоров

называемую скалярным произведением двух тензоров.

В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех компонент тензора:

Формула эта по своей конструкции аналогична известной формуле квадрата модуля вектора.

Разложим дифференциальный тензор на симметричную и антисимметричную части, положив (звездочка, так же как и в гл. I, обозначает сопряженный тензор):

или в проекциях:

Тогда будем иметь

Легко сообразить, что, в силу условия антисимметричности

последняя сумма равна нулю:

Таким образом, вместо (54) получим

т. е. отнесенная к единице объема мощность внутренних поверхностных сил равна взятому с обратным знаком скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций.

Этот, представленный формулой (56) результат имеет общее значение для любого течения сплошной среды, независимо от того, подчиняются ли напряжения обобщенному закону Ньютона или нет.

Обращаясь теперь к случаю ньютоновской жидкости или газа, для которых справедливо линейное соотношение (11) § 76 настоящей главы, будем иметь по (56) и (11):

Вычислим скалярное произведение тензорной единицы на тензор скоростей деформаций 5; тогда получим при

и, окончательно, найдем искомое выражение мощности:

Во втором слагаемом узнаем мощность, затраченную силами давления на расширение газа (вспомнить § 24). Остальные два слагаемых представляют отнесенную к единице объема мощность, диссипированную за счет работы сил вязкости (внутреннего трения):

В частном случае движения несжимаемой жидкости будем иметь:

Как видно из последней формулы, представляющей диссипированную мощность в форме суммы квадратов, энергия в несжимаемой жидкости не диссипируется только при квазитвердом движении жидкости, т. е. в том единственном случае, когда все отдельные скорости деформации (удлинений, сдвигов) порознь равны нулю. Отсутствие завихренности не предохраняет вязкую жидкость от потерь энергии на трение.

Вернемся теперь к общему уравнению теплового баланса, выведенному еще во второй главе [формула (45) § 16]. Согласно (53), уравнение теплового баланса принимает вид:

или, подставляя явные выражения для [формула (48) гл. II] и по (57),

Из уравнения (59) следует, что индивидуальное изменение отнесенной к единице массы внутренней энергии (а следовательно, температуры) движущейся частицы вязкого сжимаемого газа происходит за счет: 1) теплопроводности, 2) нагревания газа вследствие его сжатия и 3) превращения в тепло работы сил вязкого трения.