§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. «Характеристики» уравнений плоского сверхзвукового потока. Линин возмущения и их основные свойства

Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют графические и аналитические методы приближенного решения задач сверхзвукового обтекания, опубликованы также, и некоторые случаи точных решений простейших задач. Изложению этих вопросов посвящены специальные курсы газовой динамики.

Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов движения сжимаемого газа имеют "линии возмущения", представление о которых уже было дано в § 28 гл. IV при изложении нестационарного одномерного движения газа и в § 51 настоящей главы при исследовании линеаризированного движения. Рассмотрим некоторые общие свойства линий возмущения в плоском безвихревом сверхзвуковом потоке.

Вернемся к основной системе дифференциальных уравнений плоского потока сжимаемого газа (4) и (5). Обобщая прием, изложенный в § 28 гл. IV при решении задачи Риманна о распространении "конечных возмущений", составим линейную комбинацию уравнений (4) и (5); умножим соответственно первое из этих уравнений на второе — на и сложим их между собой. Тогда получим:

или

Попытаемся теперь найти в каждой точке плоскости такое направление с угловым коэффициентом

чтобы выражения в квадратных скобках равенства (77) представили производные по этому направлению соответственно от

Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины и очевидной пропорции:

или, что все равно, удовлетворить системе равенств:

Собирая здесь члены получим однородную систему уравнений:

имеющую отличные от нуля решения только при равенстве нулю определителя системы, т. е. при выполнении следующего квадратного уравнения относительно

Составляя дискриминант уравнения (80)

убедимся, что уравнение (80) будет иметь действительные решения только в сверхзвуковом потоке при выполнении условия

В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два соответствующих сопряженным корням квадратного уравнения (80)

направления (будем их в дальнейшем называть "характеристическими"), вдоль каждого из которых функции должны, согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению

Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (80) равно

перепишем уравнение (82) в виде:

или, согласно (79), так:

Уравнение (83) может быть проинтегрировано в конечном виде (что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука представляет известную функцию скорости движения Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризированного распространения конечных возмущений в задаче Риманна, вдоль кривых, представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные функции оказываются связанными известным наперед соотношением (83) или его интегралом.

Семейства интегральных кривых уравнения (81), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в плоскости а величины да, и определяемые тем же уравнением (81), представляют угловые коэффициенты касательных к характеристикам или характеристические направления в плоскости

Будем называть для определенности кривые, соответствующие дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед радикалом

характеристиками первого семейства, интегральные кривые уравнения

характеристиками второго семейства.

Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости годографа скоростей два семейства кривых,

ляемых дифференциальным уравнением (83) с тем или другим знаком перед радикалом в правой части. Каждое из этих семейств также представляет "характеристики", но уже в плоскости годографа Знаку плюс перед радикалом соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус — второго семейства. Обозначая через и угловой коэффициент "характеристических направлений" в точках плоскости {и, будем иметь по (83):

Характеристические направления в плоскостях и ( как это сразу следует из (83), связаны между собой очевидными соотношениями:

Отсюда следует, что при выборе осей х и у параллельными осям характеристические направления первого семейства в некоторой точке плоскости будут перпендикулярны характеристическим направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости наоборот, характеристические направления второго семейства в плоскости окажутся перпендикулярными характеристическим направлениям первого семейства плоскости Это важное свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство характеристик в одной плоскости, указывать характеристические направления в соответствующей точке другой плоскости. При пользовании графическими методами интегрирования основных уравнений движения, известными уже нам по гл. IV, такое свойство характеристик значительно облегчает построение решения.

Обобщим на случай произвольного нелинеаризированного сверхзвукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии с линеаризированным потоком называть "линиями возмущения" такие линии в физической плоскости касательные к которым образуют с направлением скорости угол синус которого обратен числу в данной точке [вспомнить формулу (21) § 27 гл. IV, а также §§ 51 и 52 настоящей главы]:

Докажем, что характеристики нелинеаризированных уравнений движения в плоскости образуют "линии возмущения" сверхзвукового потока. Для этого составим выражение тангенса угла между вектором скорости и касательной к характеристике в плоскости (х, у);

тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь:

или

Из этой формулы вытекает, что: 1) характеристики уравнений сверхзвукового движения являются "линиями возмущения" потоке и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плоскости одинаковые по величине и разные по знаку углы, т. е. вектор скорости направлен по бисектриссе угла между характеристиками обоих семейств в данной точке (рис. 120), и, наконец 3) проекция скорости на нормаль к характеристике равна местной скорости звука:

Рис. 120.

Определим теперь закон изменения скорости вдоль характеристик плоскости или, что все равно, уравнения характеристик в плоскости Как уже ранее было указано, уравнение (83) может быть проинтегрировано в общем случае. Для упрощения интегрирования уравнения (83) перейдем от проекций скорости к величине скорости V и углу , образованному вектором скорости с осью положив:

Имеем, согласно (83) и рис. 120:

Произведем в этом уравнении замену:

тогда получим:

откуда после простых приведений найдем:

Вводя, по (84), число перепишем уравнение (85) в виде:

или, совершая переход от числа к числу по ранее выведенной формуле (52), которую можно еще переписать так:

окончательно получим простое дифференциальное соотношение:

Интегрируя, найдем:

где введено обозначение

Переходи по обычным формулам обратных тригонометрических функций от арктангенсов к арксинусам, приведем выражение к несколько более простому виду:

заметим, что при обращается в нуль.

Функция а является сверхзвуковым аналогом функции определявшей основное преобразование (50) в методе Христиановича.

Задавая различные значения постоянной в формуле (86), получим семейства характеристик в плоскости годографа или .

Безразмерная скорость X меняется в пределах левая граница представляет критическую скорость правая — предельную максимальную скорость при которой давление, плотность и температура обращаются в нуль (полный вакуум). Проведе концентрические окружности можем заполнить всё пространство между ними сеткой кривых (86). Подробный анализ показывает, что эти кривые представляют собою семейство эпициклоид, описываемых точками окружности радиуса катящейся по кругу Имея раз навсегда указанную сетку эпициклоид, нетрудно методом, аналогичным изложенному в § 28, производить расчеты плоских сверхзвуковых обтеканий. Не останавливаясь на изложении существующих в этой области графических приемов, покажем аналитическое применение только что изложенной теории к основной задаче газовой динамики о сверхзвуковом обтекании угла.