§ 28. Распространение непрерывных возмущений конечной интенсивности. Характеристики. Образование разрывной ударной волны

В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными отклонениями давления, плотности и температуры от их равновесного значения и очень малой по сравнению со скоростью распространения звука возмущенной скоростью. При однородности полей невозмущенных элементов (давления, плотности и т. п.) в неподвижном или квазитвердо поступательно движущемся газе скорость распространения звуковых волн была всюду одинакова и зависела только от физических констант и абсолютной температуры газа. Как это следует из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине интенсивности возмущений того или другого знака (относительного сжатия или разрежения газа) растут или убывают и скорости абсолютного движения частиц в возмущенном газе. Можно предугадать, что распространение возмущений конечной интенсивности вызовет в покоящемся или движущемся поступательно как одно целое газе появление новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на конечную величину. Такое конечное изменение поля скоростей, согласно закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению термодинамических элементов потока, а следовательно, и к изменению самой скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить указанную в конце § 27 тенденцию увеличения скорости распространения звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны

сжатия и, наоборот, уменьшения этой скорости при прохождении волны разрежения, то можно себе представить, что последовательно образующиеся слабые волны сжатия должны будут догонять друг друга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все меньшие и меньшие скорости распространения, т. е. будут друг от друга отставать.

Распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет, таким образом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих ее волн. Это приведет к образованию плоской (в рассматриваемом одномерном случае) волны конечной интенсивности, распространяющейся со скоростью, превышающей скорость звука, и тем большей, чем больше интенсивность волны. Такую движущуюся по отношению к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного скачка скорости, давления, температуры и плотности газа — называют ударной волной.

Изложенные качественные соображения о механизме возникновения ударной волны можно, следуя Риманну, подтвердить и с количественной стороны.

Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1). Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а, равную по предыдущему величине местной скорости распространения звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа в рассматриваемой точке потока

Пользуясь функцией давления которую можно рассматривать и как функцию плотности по формуле

преобразуем второе уравнение системы (1)

к виду

после чего система (1) перейдет в следующую:

Введем теперь вместо функции давления новую функцию связанную с нею простым дифференциальным соотношением

Тогда система (1) может быть переписана в форме:

откуда сложением и вычитанием легко получить более удобную для последующих выводов систему уравнений:

Левые части уравнений (27) представляют одномерные индивидуальные производные: в первом уравнении от величины и для точки, движущейся со скоростью и и во втором уравнении от величины и для точки, движущейся со скоростью . Равенство нулю этих индивидуальных производных говорит о сохранении величины и в точке, движущейся со скоростью и и величины и в точке, движущейся со скоростью и — а.

Рис. 36.

Полученный результат имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим в плоскости аргументов семейство (рис. 36) кривых, определяемое дифференциальным уравнением

и второе семейство отвечающее решениям дифференциального уравнения

Действительный вид этих кривых определится только после решения системы (1), так как справа стоят неизвестные функции и существенно, однако, что в каждой точке плоскости, известно направление касательных к этим кривым, если заданы значения в этой точке.

Из уравнений (27) следует, что:

1) на кривых семейства

2) на кривых семейства

Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих семействам существуют определенные соотношения (30) и (31) между функциями и и а при заданном характере баротропного цесса, и между основными неизвестными функциями

Семейства образующие в основной плоскости аргументов сетку кривых, обладающих тем замечательным свойством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в нашем частном случае уже проинтегрированным конечным соотношениям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений в частных производных; угловые коэффициенты этих кривых, определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические направления.

Примером характеристик в простейшем случае линеаризированных уравнений распространения звуковых волн (5) служат семейства прямых: вдоль которых сохраняют одинаковое значение скорости возмущений и остальные физические величины.

Равенства (30) и (31), при заданном уравнении баротропного процесса образуют в плоскости ( также два семейства кривых, которые можно рассматривать, как "изображения" характеристик в плоскости ( или как характеристики в плоскости (

Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1), как существование характеристик позволяет свести задачу разыскания интеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего заданным начальным условиям, к простым графо-аналитическим приемам, основанным на использовании системы дифференциальных уравнений (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (30) и (31).

Предположим, что нам задано начальное условие в виде значений скорости и плотности вдоль некоторой кривой (5), не совпадающей ни целиком, ни частью с кривыми характеристической

сетки (рис. 37). В частном случае могут быть заданы значения этих величин в функции от х при начальное возмущение

Определив по (28) и (29) угловые коэффициенты кривой в точке А и кривой в точке В по формулам:

проведем соответствующие характеристические направления и построим треугольник

Рис. 37.

На отрезке характеристики выполняется, согласно (30), равенство

с другой стороны, на отрезке характеристики согласно (31), будет:

Из полученной сложением и вычитанием системы равенств:

легко находятся значения и

Повторяя точно такое же рассуждение о треугольнике построенном по значениям угловых коэффициентов характеристики в точке В и характеристики в точке С, найдем значения и в точке Но по полученным значениям легко наметить дальнейшие направления характеристик, построить, таким образом, треугольник и по предыдущему определить значения в точке Аналогичным приемом можно было найти значения в точках Задаваясь достаточно густым делением кривой (5) в точках найдем указанным только что графо-аналитическим приемом значения неизвестных функций в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости что и решает поставленную задачу. В этой возможности при помощи характеристик построить полное решение системы уравнений, удовлетворяющее некоторому заданному начальному распределению неизвестных функций, и заключается важное принципиальное значение идеи применения характеристик.

В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа, согласно уравнениям (1) или (27), характеристики в пространственно-временной плоскости имеют простой физический смысл. Это — движущиеся вдоль оси со скоростью и а или и перпендикулярные к этой оси плоскости, причем в плоскости, движущейся вниз по течению со скоростью сохраняет свое значение сумма а в плоскости, движущейся вверх по течению со скоростью , сохраняется разность Если вместо абсолютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения относительно газа, то эти движения представятся как распространение в противоположные стороны двух волн со скоростями равными по абсолютной величине местной скорости звука.

Чтобы составить себе общее впечатление о характере рассматриваемого движения газа, обратимся к изучению одного простого частного решения системы (27).

Будем предполагать движение газа баротропным и закон связи между давлением и плотностью заданным; тогда, согласно (25)

и (23), функция определится как функция из соотношения

где по (22) а является также заданной функцией Примем, например, рассматриваемое одномерное движение за адиабатическое и изэнтропическое; тогда будем иметь

а следовательно, по (22) получим:

а по

Построим частное решение системы (27), положив во всей плоскости

где значения скорости звука и плотности в покоящемся невозмущенном газе.

При будем иметь сжатие газа и возмущенное движение вдоль положительного направления оси х, при разрежение газа и движение в противоположном направлении.

Второе уравнение системы (27) в силу (35) тождественно удовлетворяется, а первое переходит в следующее:

Это уравнение можно, но предыдущему, трактовать, как условие сохранения скорости и, а по (35), следовательно, и плотности в перпендикулярной к оси плоскости, движущейся с абсолютной скоростью и а по отношению к газу — с местной скоростью звука а. По (33) и (35) местная скорость звука равна

Полученное решение будем называть простой волной. Скорость и а распространения простой волны в неподвижном пространстве, которую, напоминаем, не следует смешивать с абсолютной скоростью и самих частиц газа, будет равна по (37):

Как относительная скорость распространения простой волны по отношению к газу (37), так и абсолютная скорость распространения простой волны (38) в неподвижном пространстве растут с увеличением сжатия газа и убывают при его разрежении

Таким образом, подтверждается указанное ранее из качественных соображений важное свойство нелинейных (конечных) возмущений в одномерно текущем газе: если в покоящемся (или в квазитвердо поступательно движущемся газе) создать в начальный момент вдоль оси трубы некоторое непрерывное конечное неравномерное распределение возмущений определенной формы, то возмущения ббльшей интенсивности будут перемещаться быстрее, а менее интенсивные — медленнее.

Отсюда вытекает основное отличие нелинейного распространения конечных по величине возмущений от линейного: при распространении конечных возмущений форма их начального распределения изменяется.

Если, например, неподвижный вначале поршень (рис. 38) придет в движение и с некоторого момента времени будет двигаться равномерно со скоростью и, то передача этого движения покоящемуся газу, заполняющему цилиндрическую трубу, в которой движется поршень, произойдет не мгновенно. Вызванные поршнем давление и плотность будут распространяться в не возмущенном газе, имеющем давление и плотность Процесс этого распространения показан на рис. 38. Скорость поршня равна и, скорость точки С равна скорости звука в невозмущенном покоящемся газе, точка В имеет скорость и превышающую скорость звука и нагоняет точку С. Наклон кривой при перемещении возмущения увеличивается (рис. 38 б). При приближении этого уклона к вертикали производные по х становятся бесконечно большими, и предыдущие формулы теряют свою силу. Можно, однако, утверждать, что тенденция к увеличению крутизны склона кривой возмущений имеет место, а это приводит к образованию (рис. 38 в) малой по протяженности движущейся области, на границах которой значения будут: слева — справа — Эта область стремится стать бесконечно тонкой и превратиться в плоскость разрыва давлений, плотности и скорости. Такая движущаяся поверхность (плоскость) разрыва физических величин в газе называется, как уже упоминалось, Ударной волной или, иногда, движущимся скачком уплотнения.

Последнее наименование станет понятным, если вместо абсолютного возмущенного движения газа рассмотреть его движение относительно распространяющейся ударной волны.

Из графиков на рис. 38 легко сделать заключение, что газ, проходя сквозь ударную волну, уплотняется.

Рис. 38.

Действительно (рис. 38в), невозмущенный, менее плотный газ входит сквозь ударную волну в область возмущенного более плотного газа; вот почему ударная волна называется движущимся скачком уплотнения.

Предположим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слева направо с некоторой скоростью и и гнавший перед собой газ с давлением и плотностью мгновенно уменьшал свою скорость или остановился. Тогда перед поршнем образовалось бы разрежение, которое также стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко сообразить, что в этом случае разрыв непрерывности элементов не может осуществиться и ударной волны разрежения не образуется. В самом деле, в непосредственной близости от поршня (рис. 39)

плотность газа меньше, чем впереди от него, поэтому фронт области возмущения (точка D) будет опережать распространение волны разрежения, соответствующей участку кривой При этом склон DA (рис. 39 б, в) будет становиться все более и более пологим. Область перехода газа от больших плотностей к меньшим будет растягиваться, расплываться; разрыва непрерывности — "ударной волны разрежения" — при этом не образуется.

Рис. 39.

Невозможность образования ударной волны разрежения будет далее подтверждена общими термодинамическими соображениями. Перейдем к более детальному изучению явления распространения ударной волны сжатия.