§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового профиля на круг. Преобразование Жуковского-Чаплыгина. Теоретические крыловые профили

Среди многообразия функций (94), отображающих физическую плоскость течения на вспомогательную плоскость С, рассмотрим некоторые простейшие, преобразующие в круг такие замкнутые контуры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям, предъявляемым к крыловым профилям.

Рис. 94.

Первое такого рода преобразование было указано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. и имеет вид:

Окружность С радиуса с в плоскости преобразуется в плоскости в отрезок (рис. 94) на оси с концами в точках . В самом деле, полагая

найдем

так что полному обходу окружности соответствует двойной обход отрезка справа налево и слева направо.

Окружностям в плоскости С будут соответствовать в плоскости z софокусные эллипсы с фокусами действительно, полагая, например, в (98)

получим

откуда следует

Составляя коэффициент конформного отображения

видим, что точки с координатами являются особыми, так как в этих точках и конформность преобразования нарушается. самом деле, углу я в точке соответствует угол в точке в чем легко убедиться, переписывая преобразование (98) в форме

и производи сравнение аргументов левой и правой частей для мало отличающихся от [см. (79) § 42]. Показатель степени к правой части (99) приводит к удвоению углов, имеющих вершины и особых точках. В точках как видно из рис. 94, конформность нарушается.

Основная идея построения теоретических профилей Жуковского — Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости С круг К, Центр которого несколько смещен влево так, чтобы круг К соприкасался с кругами и в точках на оси . В силу непрерывности преобразования легко сообразить, что кругу К в плоскости С, расположенному в кольце между кругами , будет соответствовать некоторый замкнутый контур К в плоскости расположенный в области между эллипсом и отрезком При этом в точке контур будет иметь острую кромку с нулевым внутренним углом и внешним углом, равным Симметричный контур К с задней острой кромкой, известный под названием "руля Жуковского", имеет обтекаемую форму и представляет первый пример крыловых профилей

Жуковского-Чаплыгина. Проводя другие окружности со смещенными относительно начала координат О центрами, причем такие, чтобы всегда по крайней мере одна их точки совпадала с особой точкой получим всевозможные профили Жуковского-Чаплыгина.

Рис. 95. (см. скан)

Вместо (98) и (99) иногда рассматривают преобразования:

отличающиеся от предыдущих масштабным коэффициентом 1/2; так, преобразования (98) и (99) переводят основной круг С в отрезок на оси в два раза больший чем диаметр круга.

Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей Жуковского-Чаплыгина, приводим на рис. 95 различные типы профилей. Если центр круга К находится в точке оси то в плоскости получим "руль Жуковского" (показанный на рисунке пунктиром). Круг С переходит в отрезок (круг С и отрезок показаны пунктиром), служащий "скелетом" руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур его будет стягиваться к отрезку

Поместив центр круга Ко в точку на оси получим в плоскости круговую дужку опирающуюся в концы отрезка

В самом деле, соединяя точку окружности Ко отрезком с началом координат О и обозначая полярный угол через будем иметь:

и, согласно (98),

Сравнивая в этом равенстве действительные и мнимые части, получим:

Исключая из этих двух равенств найдем, что

С другой стороны, соединив точку с центром круги К] радиусом получим

или, как видно из чертежа угол между линией центров смещенных окружностей и осью

откуда следует

Подставляя эти величины в равенство после простых приведений получим уравнение круга:

с центром в точке и радиусом с что и доказывает ранее сделанное утверждение. Полагая в уравнении круга найдем стрелку прогиба 5 дужки (рис. 95, снизу):

Отношение стрелки прогиба о к хорде определяет погнутость дужки

или при малых

Наконец, круг К с центром в любой точке плоскости С, проходящий через особую точку переходит в изогнутый профиль Жуковского-Чаплыгина К. Дужка служит скелетом для профиля К, так же как отрезок для руля Вогнутость дужки представляет вместе с тем и вогнутость профиля К. Если, сохраняя вогнутость профиля К, уменьшать его толщину, то профиль будет оягиватьси к своему

Рассмотрим теперь задачу об обтекании профиля К потоком со скоростью направленной под углом к оси Проведем во вспомогательной плоскости 1 оси с началом и центре смещенного круга Плоскос комплексного неременного повернута относительно плоскости С на угол — так что, положив

приходим к соответствию между плоскостями с параллельными осями координат:

Таким образом, получим:

откуда, сравнивая с (94), найдем:

Согласно иметь

и следовательно, подъемная сила будет равна:

Направление бесциркуляционного обтекания найдем, положив будем иметь

Коэффициент подъемной силы можно получи если задаться каким-нибудь характерным размером крыла, через который выразилась бы величина а. Так, если обозначить расстояние через то легко найти:

обычно очень малые величины: первая характеризует вогнутость К и просто связана со стрелой прогиба дужки вторая зависит от толщины профиля.

Примем условно за хорду профиля К отрезок длиной стягивающий скелет профиля Тогда для коэффициента подъемной силы получим выражение:

или, принимая и угол атаки малыми, будем иметь:

при известный уже результат для пластинки.

Фокус слабо изогнутого тонкого крыла расположен в непосредственной близости фокуса плагтипки, т. е. на четверти длины от точки Действительно, по (97) при малых :

Независящий от угла атаки постоянный момент относительно фокуса О равен по (96):

а коэффициент момента относительно фокуса —

У симметричного профиля (руля Жуковского) и фокус является постоянным центром давления. Результат этот позволяет пользоваться симметричным профилем как удобной формой для рулей. При этом ось вращения руля проводят через постоянный центр давления О, что дает сравнительно малые вращательные моменты.

Преобразование (99) или (99) приводит всегда, как было показано, к крыловым профилям с нулевым углом на задней кромке. Такая кромка недостаточно прочна и при фактическом выполнении профилей приходится несколько утолщать кромки. Чтобы избежать этого недостатка, можно пользоваться обобщенными профилями Жуковского—Чаплыгина, соответствующими обобщенному преобразованию [при это преобразование сводится к обычному преобразованию Жуковского — Чаплыгина (99)]:

Выясним геометрический смысл параметра Вблизи точек положим:

тогда с точностью до малых высших порядков получим

откуда следует

:

Углу в точке С — с соответствует угол вблизи Отсюда вытекает, что круг, проходящий в плоскости С через

точку преобразуется в плоскости в профиль с углом на задней кромке, равным Пример такого профиля показан на рис. 96.

Рис. 96.

Не останавливаясь на выводе, заметим, что наклон кривой у обобщенных профилей несколько больше, чем у обычных профилей Жуковского — Чаплыгина, т. е. а именно

Отношение моментов относительно фокуса для обобщенного профиля и обычного равно