§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через циркуляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема об изменении циркуляции скорости во времени

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить скорости частиц жидкости. Естественно встает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением Скоростей в жидкости,

Для решения этого вопроса введем характерную для поля скоростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии; понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных понятий современной гидромеханики.

Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру. Примем обозначение (рис. 18):

Если точки совпадают, циркуляция вектора по замкнутому в этом случае контуру будет обозначаться так:

Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользоваться в теоретической механике при вычислении работы, равной циркуляции силы.

В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе положительного направления интегрирования вдоль контура.

Рис. 18.

Для этого рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С (рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность з, опирающуюся на этот контур. Будем различать у поверхности а две стороны, например, выпуклую и вогнутую. Одну из них, на рисунке выпуклую, выберем произвольно за положительную и условимся в ту же сторону откладывать и положительное направление нормали к поверхности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление

нормали к ней, примем за положительное направление обхода по контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль положительной нормали, при обходе контура поверхность остается слева.

При рассмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно дать более простое правило: положительное направление обхода плоского контура совпадает с направлением вращения головки винта, когда сам винт перемещается в направлении положительной нормали к плоскости контура.

Рис. 19.

Чтобы установить связь между интенсивностью вихревой трубки в поле вихря некоторого вектора и циркуляцией этого вектора по контуру, возьмем сначала плоский малый контур (рис. 19) с площадью и построим на нем цилиндр, высота которого также мала. Применяя к этому цилиндру интегральное определение вихря (72), получим:

причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверхность цилиндра.

Проектируя обе части этого равенства на нормаль к элементу , получим:

Согласно известному свойству тройного произведения

позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно полученное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде

Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком предела, может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно.

Заметим для этого, что вектор не равен нулю только на боковой поверхности цилиндра, причем для заштрихованного на рисунке элемента этой поверхности будет:

тогда найдем малая величина, стремящаяся к нулю при уменьшении

откуда следует

т. е. с точностью до малых высших порядков поток вихря вектора через площадку До равен циркуляции вектора вдоль контура, ограничивающего эту площадку.

Из формулы (80) предельным переходом можно получить следующее интегральное представление проекции вихря вектора на любое направление

где — некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к направлению а окружающий ее контур.

Пользуясь этим определением, легко вывести формулы проекций вихря на оси декартовых или криволинейных координат, непосредственно вычисляя контурный интеграл по сторонам координатных элементарных прямоугольников и переходя затем к пределу.

Рис. 20.

Возьмем теперь какой-нибудь себя не пересекающий контур С конечной длины и опирающуюся на него разомкнутую поверхность о (рис. 20). Разобьем поверхность а на большое число малых площадок Да произвольной формы и, написав для каждой такой площадки равенство (80), просуммируем обе части этих равенств по всем площадкам. Будем иметь:

Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, подсчитанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные

площадки (рис. 21), при непрерывности вектора а будут иметь одинаковую величину, но разные знаки, в зависимости от того, к какой из площадок слагаемое относится (на рис. 21 элементарные площадки несколько раздвинуты, чтобы можно было показать противоположное направление обхода контуров вдоль общей границы двух смежных площадок).

Переходя к пределу при бесконечно большом числе площадок, образующих поверхность о, найдем:

Рис. 21.

Интегральное соотношение (82) показывает, что поток вихря вектора сквозь некоторую разомкнутую поверхность равен циркуляции вектора по контуру, ограничивающему эту поверхность. Этот результат, представляющий содержание теоремы Стокса, позволяет сводить определение интенсивности вихревой трубки в поле вихря скорости к вычислению циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихревую трубку (например по контуру охватывающему вихревую трубку и ограничивающему поверхность сечения трубки на рис. 15).

Рис. 22.

Если в односвязном пространстве заданы (рис. 22) несколько изолированных вихревых трубок с интенсивностями , т. е. таких, что повсюду в области вне трубок (на поверхности о вне заштрихованных площадок вихрь вектора равен нулю, то циркуляция вектора (в частности вектора скорости) по контуру, опоясывающему рассматриваемые вихревые трубки, равна сумме интенсивностей этих трубок, как об этом можно непосредственно заключить из рис. 22:

В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематики сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего теорему об изменении во времени циркуляции скорости по движущемуся вместе с жидкостью контуру.

Рассмотрим некоторую "жидкую" линию (рис. 23), направленный элемент которой обозначим через Циркуляция скорости по этой кривой, равная

будет изменяться во времени как в силу перемещения и деформации контура (конвективное изменение), так и из-за нестационарности поля (локальное изменение). Определим индивидуальную производную по времени от этой циркуляции. По определению интеграла, производная от него будет складываться из двух частей:

Рис. 23.

Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию ускорения по контуру

Второй интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок взятия операций производной по времени и дифференцирования в пространстве может быть изменен:

Действительно, рассмотрим два последовательных положения жидкого отрезка (рис. 23): в момент времени в момент Перемещения концов жидкого отрезка будут соответственно: (начало отрезка) и (конец отрезка).

Из векторного четырехугольника сразу следует

или, после простых сокращений, искомое равенство (85).

Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) и (85) получим:

Предположим теперь, что контур замкнут, т. е. точки совпадают. Тогда предыдущая формула дает

Отсюда следует теорема Кельвина: производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

Такая формулировка теоремы Кельвина делает ее чисто кинематической, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от характера приложенных к жидкости сил. В динамике будут изложены важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия, при выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во времени; с кинематической точки зрения важна сама связь (86) между циркуляциями скорости и ускорения.

Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы настоящей главы основаны лишь на допущении о непрерывности, поля скоростей в жидкости или газе и существовании первых производных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложенные в этой главе, верны для любой сплошной среды.