§ 103. Турбулентный след за обтекаемым телом

К задаче о струе близко подходит другая важная задача теории свободной турбулентности — об аэродинамическом следе вдалеке за обтекаемым телом.

Ограничимся для простоты рассмотрением плоской задачи, причем след будем считать изотермическим.

Тормозящее влияние тела приводит к наличию "провала" в эпюре скоростей в области следа, как это показано на рис. 207.

Рис. 207.

При удалении от тела глубина этого провала уменьшается, а ширина увеличивается. Вне следа (на рис. 207 "границы" области следа, в обычном для теории пограничного слоя смысле, показаны пунктиром) продольная скорость повсюду равна

Разложим поле скоростей в следе на две составляющих: поле скоростей основного потока, набегающего на тело, и поле возмущений выражающее подтормаживающее влияние тела; положим:

Принимая поле возмущений в удалении от тела слабым по сравнению с полем скоростей набегающего потока, можем, подставив величины в уравнения пограничного слоя (105), откинуть квадраты

возмущений и получить следующие линеаризированные уравнения:

Такая упрощенная система уравнений имеет место только для области следа, удаленной от обтекаемого тела. Задача о следе в непосредственной близости за телом представляет непреодолимые трудности даже для хорошо обтекаемых тел, так как в этом случае возмущения уже не малы и, кроме того, возникает необходимость сращивать решения в пограничном слое и следе, удовлетворяющие тем же уравнениям, но различным граничным условиям: на поверхности тела, на нулевой линии тока в следе.

При удалении от обтекаемого тела теряется значение формы тела и, как далее будет показано, становится достаточным знание какой-нибудь одной суммарной характеристики тормозящего влияния тела, например, его сопротивления

Используем, как это уже делалось ранее (§ 101) при выводе формулы профильного сопротивления, уравнение импульсов в следе (86), которое в случае несжимаемой жидкости имеет вид:

и заметим, что вдалеке от тела так что при достаточно больших значениях х:

Вспоминая еще формулу (83), получим:

Заменим в этом выражении и на и откинем вновь малые величины выше первого порядка. Тогда будем иметь:

Сделаем, как и прежде в теории струи, предположение о подобии эпюр продольных скоростей возмущений в сечениях, удаленных от тела, т. е. положим

где максимальная продольная скорость возмущения на оси следа в данном его сечении, некоторая условная ширина следа. Подставляя последнее выражение в уравнение (126), получим:

Отсюда сразу вытекает, что во всех удаленных от тела сечениях

Замечая, что по основной формуле коэффициента турбулентного обмена (104) в рассматриваемом случае следа будем иметь:

на основании (129) заключим о постоянстве коэффициента турбулентного обмена А во всей удаленной от тела области следа. Таким образом, имеем вместо (129):

Отсюда следует, что линеаризированные уравнения (124) возмущений в турбулентном следе за телом совпадут с аналогичными уравнениями для ламинарного следа, если заменить коэффициент турбулентного обмена на обычный коэффициент молекулярной вязкости Граничные условия как для турбулентного, так и для ламинарного следа будут иметь вид:

Уравнениям (124) и граничным условиям (131) можно удовлетворить простейшим, известным из теории распространения тепла в стержне, фундаментальным решением типа "источника":

Постоянная С может быть выражена через заданное сопротивление тела если указанное только что выражение подставить в равенство (126). Будем иметь:

Простое выполнение квадратуры приводит к результату

что дает вместо (132)

Полагая здесь , найдем выражение скорости максимального возмущения на оси:

которая, как показывает формула (133), убывает с удалением от тела по закону обратной пропорциональности корню квадратному из расстояния сечения следа до тела, образующего след. Согласно (129), условная ширина следа оказывается пропорциональной корню квадратному из абсциссы х.

Разыскав выражение для и, и пользуясь вторым уравнением системы (124), найдем поперечную скорость

Многочисленные опыты Б. Я. Трубчикова, а также зарубежных авторов (Рейхардт, Шлихтинг и др.) подтвердили пригодность формулы (132) в большом удалении от цилиндра (на расстоянии порядка ста и более диаметров от обтекаемого цилиндра).

Ту же задачу о турбулентном следе за телом можно было бы решить и непосредственным применением формулы Прандтля (22) § 94, полагая, как и ранее, величину I пропорциональной ширине следа в соответствующем сечении.

Как показывают расчеты, разница между результатами теоретического расчета по двум методам очень мала.

Аналогичным путем решается задача о плоском турбулентном следе вдалеке за решеткой, составленной из цилиндрических тел.