§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании скорости внешнего потока

Другим более общим случаем сводимости уравнений в частных производных (65) к обыкновенному уравнению является такое движение жидкости в пограничном слое, при котором размерная скорость внешнего потока на границе пограничного слоя определяется степенным равенством

Этот случай интересен, как пример ускоренного или замедленного движения во внешнем потоке; анализ решения этой задачи позволяет сделать выводы об особенностях поведения пограничного слоя в такого рода потоках.

Обозначая, как и раньше, через и V масштабы длин и скоростей, будем иметь:

и, взяв отношение левых и правых частей,

или, сохраняя для безразмерных величин те же обозначения, что и для размерных:

Уравнения ламинарного пограничного слоя (65) в силу равенства (66) при безразмерном будут иметь вид:

В данном случае имеем масштабы

причем в силу (77)

Из условия независимости решений уравнений (78) от масштаба который отсутствует в условиях задачи, следует, что искомые функции должны зависеть не от безразмерных х и у отдельно, а от такой их комбинации, чтобы при переходе к размерным величинам масштаб выпал.

Сравнивая выражение видим, что искомой комбинацией безразмерных х и у является

Полагая в безразмерных величинах

введем, чтобы удовлетворить второму уравнению системы (78), безразмерную функцию тока тогда будем иметь:

Составляя выражения (штрих — производная по ):

и подставляя их в первое уравнение системы (78), получим после простых сокращений:

Уравнение это можно еще дополнительно упростить, если сделать замену:

Простые вычисления приведут после этого к такой окончательной форме основного дифференциального уравнения задачи:

где положено для краткости

Заметим, что из соотношений (79), (80) и (81) следует:

где связано с размерными координатами х, у соотношением:

Пользуясь этими равенствами, легко установим граничные условия задачи:

Уравнение (82) представляет обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка, решение которого при граничных условиях (84) может быть проведено либо приближенным численным методом, либо на специальной интегрирующей машине, как это сделал Хартри в цитированной на стр. 540 работе.

Результаты численного интегрирования сведены в табл. 16 значений отношения скоростей или функции при различных величинах параметра

Некоторые качественные выводы можно непосредственно сделать из рассмотрения табл. 16. Заметим прежде всего, что положительным соответствуют ускоренные внешние потоки имеющие место в конфузорных (сходящихся) каналах, а отрицательным замедленные потоки наблюдаемые в диффузорах (расширяющихся каналах). Соответственно знаку будет положительным или отрицательным параметр Случаю отвечает известное уже нам продольное обтекание пластинки с равномерным внешним потоком

Первое, что сразу следует из табл. 16, это убывание с увеличением параметра безразмерной "толщины" пограничного слоя определенной значением при котором отличается от единицы на данную малую величину, например, на 0,1%. Так, при при при а при . К аналогичному результату придем, вычисляя размерные условные толщины слоя: толщину вытеснения 8 и толщину потери импульса , определенные интегралами:

или, согласно (83):

Входящие сюда функции и равные:

(см. скан)

(см. скан)

могут быть найдены численным интегрированием по табл. 16 функции и даны в табл. 17.

Таблица 17 (см. скан)

Переписывая выражения и в форме:

видим, что при обе "толщины" слоя 8 и 8 оказываются не зависящими от х постоянными величинами:

Случай имеет простой физический смысл, это — движение в пограничном слое вблизи точки разветвления потока в передней критической точке крыла

Согласно формулам (85), при толщина пограничного слоя растет вниз по течению, подобно тому, как это имело место, например, на пластинке причем чем меньше тем этот рост сильнее. Особенно быстро растет толщина пограничного слоя в замедленных потоках при что имеет место в течениях в диффузорных каналах. Интересно отметить, что, при т. е. в резко ускоряющихся потоках (конфузорные каналы), толщина пограничного слоя будет убывать вниз по течению.

Рассмотрим теперь напряжение трения на стенке представленное в размерном виде равенством

Безразмерная величина приводится как функция [3 в табл. 17. Примечателен факт, что при т. е. при законе убывания скорости внешнего потока

величина становится равной нулю. При этом во всех точках на поверхности канала трение обращается в нуль и будет выполняться условие начала отрыва:

Рассматриваемый частный случай представляет предельное безотрывное движение жидкости в пограничном слое. При пограничный слой уже не может существовать и заменится попятно движущейся жидкостью, а предыдущее решение потеряет силу.

Таким образом, исследованное в настоящем параграфе движение со степенным распределением скорости во внешнем потоке представляет своеобразный практический интерес. Выбирая для показателя степени различные убывающие значения от до , мы тем самым рассматриваем движения, похожие на происходящие в различных сечениях пограничного слоя на крыле: вблизи лобовой критической точки точки минимума давления наконец, точки отрыва Для дальнейшего, однако, важно понять, что рассмотренный в настоящем параграфе класс течений соответствует фиксированным значениям или при всех значениях абсциссы х, в то время как в пограничном слое при различных значениях х приходится иметь дело как с ускоренным потоком в лобовой части крыла, так и с замедленным — в кормовой части. Чтобы использовать для приближенного описания движения в пограничном слое на крыле профили скоростей и другие величины, представленные в предыдущих таблицах, пришлось бы для каждого сечения пограничного слоя на крыле брать из таблиц значения этих величин, соответствующие своему, характерному для данного сечения слоя значению или Для установления связи между необходимым значением (или ) и абсциссами х различных сечений слоя в этом случае потребовались бы некоторые дополнительные соображения, которые будут изложены в следующих параграфах, посвященных приближенным методам теории ламинарного пограничного слоя.

Обращаясь к вопросу о неизотярмическом движении жидкости в пограничном слое при степенном законе скорости во внешнем потоке, удовольствуемся, как и в случае пластиикп, простейшим предположением о независимости плотности и вязкости жидкости от температуры. Это предположение имеет силу, если разность между постоянной по всей поверхности тела температурой и температурой внешнего потока также принимаемой одинаковой во всем внешнем потоке, т. е. перепад температур невелик.

Составим вновь безразмерную температуру

и попытаемся удовлетворить последнему из безразмерных уравнений системы (65), переписанному в форме:

и очевидным граничным условиям:

считая функцией только Имеем:

После подстановки этих величин, а также и и», приведенных в системе (83), в уравнение (87) и простых вычислений получим уравнение:

совершенно аналогичное уравнению (73) для случая пластинки. Интегрирование этого уравнения при граничных условиях (87) приводит к решению в форме квадратуры:

зависящей как от аргумента так и от параметров Таблицу значений функции можно составить численным интегрированием функции или пользоваться приближенной формулой

со значениями взятыми по ранее приведенной табл. 17.

К численному интегрированию сводится и несколько более общая неизотермическая задача, отличающаяся от предыдущей тем, что температура стенки не постоянна, а является также степенной функцией абсциссы

Следует отметить, что опыты хорошо подтверждают результаты теоретического расчета теплоотдачи.