§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной жидкости. Адиабатическое движение. Сохранение энтропии

В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот же механизм молекулярного переноса: в первом случае — количества движения, во втором — кинетической энергии хаотического движения молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости, как жидкости без трения, отказаться одновременно и от теплопроводности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи (например, лучеиспускания).

Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следующую интегральную форму:

Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу связи между теплоемкостями газа и газовой постоянной

Формула (17) легко выводится из определения теплоемкости при постоянном давлении как отношения элементарного приращения отнесенного к единице массы газа количества тепла к приращению температуры при сохранении постоянного давления

если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала термодинамики совершенного газа удельный объем

по формуле

и применить уравнение Клапейрона

согласно которому

Тогда будем иметь:

откуда и следует формула (17).

Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице массы внутреннюю энергию газа через так называемое теплосодержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую функцию по (17) так:

После этого уравнение (16) может быть записано в виде

Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе и, в силу уравнения непрерывности (18) гл. II, оказываются в сумме равны

Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохранения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе:

из которой обычным приемом получим и дифференциальную форму того же закона

Предположим теперь, что объемные силы отсутствуют и движение стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е. будем считать движение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения энергии приведется к равенствам:

Из (19) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока (для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться равенство

выражающее известную теорему Бернулли для сжимаемого газа (см. § 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального совершенного газа при отсутствии объемных сил сумма отнесенных к единице массы теплосодержания и кинетической энергии сохраняет постоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы.

Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно Уравнению Эйлера,

то можно получить равенство

или после сокращения слева и справа на член следующее не зависящее от характера поля объемных сил выражение того же закона сохранения энергии

Если движение баротронно, то по предыдущему

после чего уравнение баланса энергии приобретает вид

Из равенства (21) вытекает, что в случае баротронного движения, а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в настоящем курсе движений, приток тепла определяет изменен.. тзности тепловой функции и функции давлений. При адиабатическом движении и уравнение (21) приводит к соотношению

справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из курса термодинамики адиабаты

с показателем равным отношению теплоемкостей и постоянной С, определяемой по заданным значениям: в некоторой точке адиабаты.

Действительно, переписывая (22) в вилс

и замечая, что по (17),

будем иметь, дифференцируя (22) по давлению

откуда следует дифференциальное равенство

которое после интегрирования и приводит к (23).

Наряду с функциями состояния и введем в рассмотрение еще одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа энтропию определяемую известным дифференциальным соотношением

где, в общем случае, под бесконечно малой величиной будем понимать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся обратимым путем за время в элементарном объеме газа.

Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство т. е. энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину, то такое движение называется изэнтропическим.

Как известно, возрастание энтропии в изолированной (адиабатической) системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, связанные с "потерями" механической энергии.

Примером образования таких механических потерь могут служить потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.

Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтропического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при отсутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему-либо возникает необратимым образом тепло. Движение может быть, наоборот, неадиабатическим, но изэнтропическим, если тепловыделения, связанные с превращением механической энергии в тепло, компенсируются путем теплопроводности или лучеиспускания. Само собою разумеется, что реальные движения являются неадиабатическими и неизэнтропическими и могут рассматриваться в качестве адиабатических или изэнтропических лишь в известном приближении.

В идеальном газе непрерывное адиабатическое движение является вместе с тем и изэнтропическим, так как при отсутствии внутреннего трения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.

Можно вывести общую формулу для энтропии совершенного газа, если в правую часть равенства (24) подставить выражение из уравнения первого начала термодинамики

и разделить обе части таким образом полученного равенства на 7; тогда получим

или замечая еще, что на основании (17)

найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения энтропии

откуда интегрированием получим

Значение константы здесь не существенно, так как приходится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.

Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтроническим. Соотношение (23) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой или, короче, изэнтропой.