§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее тело. Парадокс Даламбера

Точно так же, как это имело место в случае плоского обтекания круглого цилиндра, можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая однородный поток, параллельный, например, оси со скоростью на поток от диполя, ориентированного вдоль этой оси (рис. 140).

Рис. 140.

Складывая функции тока (38) и (40), найдем функцию тока составного потока:

Нулевая поверхность тока

разбивается на уравнение поверхности сферы:

где а — радиус сферы, и уравнение оси

Отсюда следует, что, желая получить обтекание сферы радиуса а потоком со скоростью на бесконечности, направленным вдоль оси надо положить в выражении функции тока (41)

тогда будем иметь

После этого уже нетрудно при желании найти и потенциал скоростей. Можно было бы проинтегрировать систему уравнений связи потенциала с функцией тока но проще непосредственно составить сумму потенциалов слагаемых потоков (16) и

Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение скоростей:

Сразу видно, что на поверхности сферы выполняется основное граничное условие непроницаемости твердой стенки:

а на бесконечности

т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по величине и направлена по оси в положительную сторону.

Как это уже делалось ранее при изучении плоского движения, разобьем рассматриваемый поток на два: 1) однородный невозмущенный сферой поток со скоростями

и 2) поток от диполя, представляющий возмущение однородного потока сферой:

Скорости возмущения, как видно из последних равенств, быстро убывают с удалением от возмущающей поток сферы. Убывание имеет порядок обратной пропорциональности кубу расстояния.

Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется равенством

Точки (рис. 140) будут критическими, в них скорость обращается в нуль. Максимальная скорость будет иметь место в миделевой плоскости при она равна по величине

Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра (§ 38 гл. V), видим, что в пространственном случае обтекания сферы максимальная скорость на ее поверхности достигает только трех вторых скорости набегающего потока, в то время как в случае плоского обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в два раза превышает скорость набегающего потока. Заметим, что (так же как и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость не достигает столь большого значения; сфера представляет плохо обтекаемое тело, с которого набегающий поток реальной жидкости срывается, не доходя при одних условиях даже до миделевой плоскости, при других — несколько заходя за нее (об этом подробнее бзгдет сказано в дальнейшем).

Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме Бернулли

из которой следует выражение коэффициента давления:

Как видно непосредственно из последней формулы, в силу симметрии главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на поверхность сферы будет равен нулю. Сфера при своем равномерном Движении в идеальной жидкости не испытывает со стороны последней никакого сопротивления. В этом заключается частный случай известного парадокса Даламбера, о котором уже была речь во введении и в гл. V о плоском безвихревом движении. В рассмотренном только что случае сферы этот парадокс следует из соображений симметрии распределения давления по поверхности сферы, однако парадокс верен и при несимметричных обтеканиях.

Приведем общее доказательство парадокса Даламбера для случая пространственного безвихревого обтекания конечного по размерам тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым ограниченным замкнутой поверхностью а телом (рис. 141) при удалении от этого тела.

Разобьем потенциал обтекания тела на потенциал однородного потока со скоростью параллельной, например, оси и на потенциал скоростей возмущения а.

Рис. 141.

Последний потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах можно написать в виде:

Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положим

где функция только от только от a и b. Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь:

или, отделяя функции от остальных переменных:

Слева стоит функция только справа — только Поскольку переменные независимы друг от друга, из предыдущего

равенства следует:

Легко видеть, что в число решений этого уравнения будут входить целые положительные или отрицательные Степени переменного

если только произвольную константу положить равной Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел так как потенциал возмущения должен убывать с ростом получим систему частных решений уравнения Лапласа (45) в виде:

причем функции их называют сферическими функциями — должны удовлетворять уравнению в частных производных:

При решением этого уравнения, ограниченным при всех значениях будет что соответствует простейшему частному решению представляющему не что иное, как известный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока). При уравнение имеет решением что приводит к потенциалу скоростей диполя.

В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал о можно представить как сумму частных решений:

Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтекаемое тело сферой большого радиуса предполагая, что между поверхностью тела а и поверхностью сферы нет источников или стоков, напишем услоние равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь поверхность

Замечая еще, что:

получим:

откуда при и следует, что

Итак, окончательно общий вид потенциала скоростей будет:

и, следовательно, действительно при больших скорости возмущения имеют порядок

После этого уже нетрудно доказать и парадокс Даламбера. Применим теорему количества движения в форме Эйлера к объему жидкости, заключенному между контрольными поверхностями Будем иметь, обозначая через главный вектор сил давления, действующих со стороны жидкости на тело:

так как перенос количества движения через поверхность твердого тела о равен нулю.

При отсутствии вихрей в рассматриваемой области течения справедлива теорема Бернулли, дающая формулу связи давления и скорости:

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:

Разбивая по предыдущему скорость потока на основную скорость натекания и скорость возмущения V, будем иметь:

что следует в силу очевидных равенств:

По ранее доказанному скорость возмущения V имеет при больших величину порядка в то время как элемент интегрирования порядок отсюда сразу вытекает, что при стремлении к бесконечности главный вектор сил давления потока должен быть равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безвихревом обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью, в отсутствие вокруг тела источников либо стоков, главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.

Парадокс Даламбера доказан только для тела конечных размеров, ограниченного замкнутой поверхностью. Главный вектор сил давления потока на тело, распространяющееся до бесконечности, например, на "полутело" (рис. 142), зависит от закона возрастания ширины сечения этого полутелас увеличением расстояния z до бесконечности. Так сопротивление полутела, образованного наложением однородного потока на источник, равно нулю.

Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления.

Рис. 142.