§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу теоремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора и момента сил давления потока на крыло

Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А. Чаплыгиным, 2 который получил общие формулы главного вектора и главного момента сил давления потока на крыло.

Рассмотрим крыловой контур С (рис. 91) в безвихревом плоскопараллельном потоке идеальной несжимаемой жидкости, набегающей на профиль со скоростью

Составим выражения главного вектора и главного момента относительно перпендикулярной к плоскости течения оси, проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли

Рис. 91.

будем иметь, как и в предыдущем параграфе, выражение главного вектора:

и главного момента:

Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что (рис. 91):

кроме того, на контуре С можно положить

Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду:

Заменим в этих формулах

тогда получим:

Таковы известные формулы Чаплыгина, выражающие сопряженный вектор силы и момент сил давления потока на тело. Вспоминая, что по предыдущему

перепишем формулы Чаплыгина еще в таком виде:

Сопряженная скорость является голоморфной функцией переменного z во внешней по отношению к контуру С части физической плоскости Следовательно, интегралы (90) можно вычислять по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по окружности круга С. Вместе с тем функция может быть на этом контуре С и во всей внешней по отношению к нему области разложена в ряд по отрицательным степеням z:

в котором свободный член представляет, очевидно, сопряженную скорость на бесконечности:

Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощи контурного интегрирования по формулам:

Значения этих коэффициентов зависят от вида функции т. е. от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычисляется коэффициент он оказывается равным

т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля.

Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного профиля зависят лишь от первых трех коэффициентов разложения (91): Для этого подставим в выражение (90) разложение (91), причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые дают отличные от нуля значения; вспоминая, что

будем иметь:

Используя выражения (91) и первых двух коэффициентов получим:

В первой из этих формул нетрудно узнать формулу Жуковского. Величина подъемной силы равна множитель показывает, что направление комплексного вектора можно получить поворотом комплексного вектора V на 90° в сторону, противоположную "положительному направлению циркуляции". Используя полученное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь:

Что касается выражения момента то для его вычисления необходимо знать величину коэффициента в разложении сопряженной скорости (91). Подчеркнем еще раз, что для вычисления силы и момента не нужно знать полностью обтекание крыла, все коэффициенты разложения (91), — достаточно располагать лишь первыми тремя коэффициентами

Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (§ 40), представленное формулой сопряженной скорости (60). Составим разложение скорости в ряд по отрицательным степеням

Сравнивая это разложение с рядом (91), получим:

Находим по :

или по

Момент по второй из формул (92) будет равен:

Переходя от проекций скорости к их выражениям через модуль скорости и угол атаки окончательно получим:

Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей. Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет

или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокращения:

Точка (рис. 92) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы давления потока на пластинку к одной силе то эта сила будет приложена в центре давления Полагая в последнем уравненив найдем абсциссу положения центра давления на пластинке:

Рис. 92.

Центр давления потока на пластинку находится на четверти ее длины от передней кромки, причем, как показывает последняя формула, положение центра давления не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки. Вводя в рассмотрение коэффициент момента

будем иметь при малых углах атаки

Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы видим, что

Интересно отметить, что это соотношение, обычно выражаемое через коэффициенты и в виде

оказывается справедливым не только для косого обтекания пластинки, но довольно хорошо соответствует опытным данным и для тонких симметричных профилей. Если принять точку - за точку, относительно которой берется главный момент сил давлений, то момент будет равен нулю.