51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль волнистой стенки

В качестве первого примера решений линеаризированных уравнений рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис. 102) в виде синусоиды с амплитудой весьма малой по сравнению с длиной волны Уравнение такой стенки будет

Определим возмущения и, вносимые твердой стенкой в однородный поток со скоростью направленный вдоль оси

Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором Обозначим через величину:

будем искать решение уравнения (15) при следующих граничных условиях:

или, согласно (12):

и

Рис. 102.

Попытаемся составить искомое решение, удовлетворяющее граничным условиям (17), в форме произведения двух функций от отдельных аргументов и :

подставив это выражение в (15), получим

или

где — некоторая постоянная.

Отсюда находим систему частных решений

из которых можно составить комбинацию, удовлетворяющую граничным условиям (17),

если положить

Действительно, на стенке должно по (17) выполняться равенство

Это граничное условие будет выполнено приближенно, если положить

и отбросить в предыдущем равенстве, согласно принятой линеаризации, члены и высшими степенями Можно еще поступить иначе: выполнить первое граничное условие (17) точно, но не на поверхности стенки, а на оси положив

Подобный прием, характерный для всех методов рассмотрения движений, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного, применялся уже в предыдущей главе при рассмотрении задачи об обтекании тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости, набегающей на дужку под малым углом атаки.

Второе граничное условие, очевидно, также выполняется.

Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи:

а используя (14), находим искомые проекции скорости:

Как видно из этих решений, при удалении от волнистой стенки дополнительные скорости быстро, по показательному закону, убывают до нуля, т. е. движение вдалеке от стенки переходит в невозмущенный однородный поток со скоростью (рис. 103). Сравнивая полученное дозвуковое движение газа с соответствующим движением несжимаемой жидкости со скоростью около той же волнистой стенки

которое можно получить из (21), полагая в нем заметим существенный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом потоке с ростом числа Мор область возмущающего влияния стенки увеличивается,

Рис. 103.

Отношения добавочных скоростей в сжимаемом и несжимаемом газе равны:

Таким образом, линии тока при выпрямляются скорее, чем при больших (рис. 103).

Определим распределение давления дозвукового потока на волнистую стенку.

Для этого введем, как обычно, коэффициент давления

который в случае линеаризированной теории равен

По теореме Бернулли

исключая плотность при помощи изэнтропы,

получим

или, вводя малые отклонения

Подставляя это значение в формулу (22), найдем общее выражение коэффициента давления в линеаризированной теории

В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из формул (21), иметь

Давление на волнистую стенку получим, если, следуя принятому приближению, положим в последней формуле будем иметь

Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом газе при данном и несжимаемом получим

— важное соотношение, показывающее, что в принятом приближении коэффициент давления по поверхности обтекаемой стенки растет с числом по закону

Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено. Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока Вводя в этом случае обозначение

перепишем уравнение (15) в виде:

Это волновое уравнение имеет, как известно, общее решение символы произвольных функций)

в чем легко убедиться простой подстановкой.

Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому

Полагая

убедимся, что вдоль прямых этого семейства величины принимают постоянные значения

Вспоминая сказанное в § 28 гл. IV, видим, что семейство прямых представляет одно из двух семейств характеристик волнового уравнения (15). Аналогично, семейство прямых

представляет второе семейство характеристик того же волнового уравнения.

Уравнение (15) — линейное уравнение с постоянными коэффициентами; в силу этого характеристики в отличие от рассмотренной в § 28 гл. IV нелинейной системы (27), определяются в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, зная распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным значениям вдоль некоторой линии, не принадлежащей к семействам характеристик, найти значения этих величин во всей плоскости:

Принимая во внимание необходимость выполнения граничных условий:

будем искать функцию в виде

Тогда из первого граничного условия будет вытекать

что приведет к следующим окончательным результатам:

На поверхности волнистой стенки в выбранном приближении будем иметь:

Проанализируем полученные результаты (25). Прежде всего отметим следующее специфическое свойство сверхзвуковых потоков: возмущающее влияние стенки на поток не исчезает при удалении от стенки, как это имело место в дозвуковых потоках. Наоборот, возмущения, создаваемые стенкой, сохраняют свою величину вдоль наклонных к стенке прямых линий (рис. 104):

Рис. 104.

Угловой коэффициент этого семейства характеристик волнового уравнения (15) равен

По § 27 гл. IV заключаем, что характеристики играют роль линий возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Чем больше число тем меньше "угол возмущения" а, образуемый линиями возмущений с осью На рис. 104 показано взаимное расположение линий тока и "линий возмущения" — характеристик сверхзвукового потока.

Сравним между собою распределения давления по поверхности стенки в дозвуковом (23) и сверхзвуковом (26) потоках. Распределения эти сдвинуты по фазе друг относительно друга на (рис. 105) что приводит к принципиально отличным распределениям давлений в до- и сверхзвуковом потоках.

Рис. 105.

В дозвуковом потоке, в полном согласии с обычными представлениями о сгущении линий тока при обтекании выступов и, наоборот, разрежении линий тока при омывании впадин, достигает своего максимального и минимального значений во впадине и на гребне волны (рис. 103). В сверхзвуковом потоке, как видно из (26), на гребне волны, так же как и во впадине, коэффициент давления

равен нулю, давление достигает своего максимального значения (рис. 105) по середине восходящей ветви синусоиды в точке перегиба синусоиды, и минимального — по середине склона

Формулы (23) и (26) можно переписать в виде:

где функция определяет ординату волнистой стенки. Как видно из выражений (27), распределение давлений при дозвуковом потоке находится в противофазе с профилем волнистой стенки, т. е. следует за изменением ординаты, но в противоположном направлении. Распределение давления в сверхзвуковом потоке оказывается пропорциональным угловому коэффициенту профиля стенки, т. е. тангенсу угла наклона профиля стенки к оси или, в силу малости углов, пропорциональным самому углу наклона. Назовем угол между направлением скорости в данной точке и осью местным углом атаки. Тогда из второй формулы системы (27) следует, что коэффициент давления на поверхности стенки в линеаризированном сверхзвуковом потоке пропорционален местному углу атаки:

Полученные на простом и наглядном примере волнистой стенки результаты обобщаются и на общий случай линеаризированного потока — на задачу об обтекании тонкого крыла.