§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревой трубки

Как было ранее (§ 10) уже выяснено, элементарный объем жидкости или газа, совершая свое поступательное движение в пространстве, непрерывно при этом деформируется и поворачивается, как одно целое, вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем скорости; угловая скорость мгновенного поворота равна половине величины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную

совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жидкости, введем в рассмотрение векторные линии ноля угловых скоростей вращения или, что все равно, векторные линии ноля вихря скорости Эти векторные линии назовем вихревыми линиями или вихревыми нитями.

Напомним общий способ построения векторных линий, особо поучительный в данном конкретном случае.

Рассмотрим в данный момент вблизи точки (рис. 14) вращающийся элементарный объем и отметим вектор угловой скорости его вращения. Переместившись вдоль этого вектора на малый отрезок проведем в тот же момент времени вектор угловой скорости вращения элементарного объема в точке затем вектор угловой скорости в точке Полигон в пределе образует вихревую линию. Элементарные жидкие объемы, расположенные вдоль линии, вращаются вокруг касательных к ней в соответствующих точках. Вихревая линия играет роль криволинейной оси вращения этих объемов. Представим себе элементарные объемы жидкости как "бусинки" с заранее проделанными в них отверстиями для продевания нитки. Непрерывность поля скоростей в жидкости приводит к такой ориентации "бусинок", что нитка, продетая в одну "бусинку", попадет точно в отверстие следующей "бусинки" и т. д. Нитка, проходящая через отверстия "бусинок" (рис. 14, справа), дает представление о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых "бусинок" отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидкости и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов. Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения. Расположение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах все время изменяется. Вместе с тем изменяется и конфигурация самих объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение.

Вектор представляет мгновенную угловую скорость некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого элементарного объема.

Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля

Рис. 14.

жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно перпендикулярные оси (главные оси тензора скоростей деформаций), скорости скощения которых равны нулю. Такой, для разных точек пространства различный "жесткий скелет" будет в данный момент времени иметь угловую скорость, как раз равную

Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным приемом получим вихревые трубки конечного размера.

Вихревые трубки обладают обшим свойством, выражаемым второй теоремой Гельмгольца: поток вихря вектора через сечение вихревой трубки одинаков для всех сечений трубки.

Рис. 15.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную вихревую трубку (рис. 15) в поле любого вектора а и отсечем от нее двумя произвольными сечениями некоторый конечный объем боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную контурами этих сечений, обозначим через . Тогда, применяя к выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66), получим для вектора

где внешняя нормаль к поверхности интегрирования; заметим, что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу, третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать, что интеграл в правой части тождественно равен нулю, так как

Обозначим через нормаль к поверхностям сечений направленную в сторону вектора вихря, т. е. внутрь объема для сечения и наружу — для тогда найдем

что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную для любого векторного поля.

Полагая:

получим гидродинамическую форму равенства (75):

Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамическая формулировка второй теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки.

Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям трубки, и, в силу малости площадей этих сечений написать:

Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки угловая скорость вращения больше, и наоборот.

Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихревой трубки позволяет принять поток вихря за меру интенсивности

вихревой трубки и положить

В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки понимают поток вихря скорости

В некоторых курсах под интенсивностью вихревой трубки скоростного поля жидкости понимают поток вектора угловой скорости

Важным следствием доказанной теоремы Гельмгольца является невозможность окончания вихревой трубки в жидкости, так как при уменьшении площади сечения трубки до нуля угловая скорость превратилась бы в бесконечность (рис. 16). Как показывают опыты, вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо заканчиваются на стенках сосудов или на свободных поверхностях (рис. 17).

Подчеркнем еще раз, что вторая теорема Гельмгольца говорит об одинаковости потока вихря вдоль трубки в данный момент времени; о том, будет ли интенсивность трубки постоянной во времени или нет, можно судить лишь на основании рассмотрения динамического процесса движения трубки, характера приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др.

Рис. 16.

Рис. 17.