§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры (n = 1)

В качестве простейшего примера применения уравнений (63) рассмотрим продольное обтекание пластинки. В этом случае следовательно, в принятых безразмерных величинах система (63) может быть переписана в виде:

или, производя очевидное сокращение в третьем равенстве при помощи первого:

А. А. Дородницын указал общее преобразование координат, позволяющее придавать уравнениям пограничного слоя в сжимаемом газе форму, напоминающую уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Преобразование это определяется системой равенств в размерных величинах

где и - давление и плотность в адиабатически и изэнтропически заторможенном внешнем потоке.

Используя в (105) вместо величины будем иметь в случае пластинки в принятых ранее безразмерных величинах:

Формулы перехода от дифференцирования по х, у к дифференцированию по будут:

так как является функцией не только у, но и х.

Первое равенство системы (104) преобразуется к виду:

и, после сокращения на и принятия в расчет последних двух равенств системы, дает:

Из второго равенства (уравнения неразрывности) вытекает наличие функции тока причем:

Отсюда можно заключить о справедливости соотношений:

Сравнивая с уравнением (107), видим, что, если ввести обозначение

то уравнения (107) и (108) приведутся к виду:

Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение системы (104) — уравнение энергий; будем иметь:

или, сокращая обе части на и используя обозначение (109) и последние два соотношения в системе (104):

Принимая во внимание общие соображения об упрощении граничных условий путем перехода от пластинки к бесконечной плоскости приведенные подробно в начале § 85 при изложении задачи о пограничном слое на пластинке в потоке несжимаемой жидкости, будем искать выражение для продольной скорости и теплосодержания в функции от одного аргумента С, представляющего комплекс

Тогда, согласно второму равенству системы (110), получим:

Введем для краткости обозначение

тогда, как и в § 85, будем иметь следующие выражения функции тока скоростей , а также производных (обозначаемых в дальнейшем штрихом) от скорости и и теплосодержания по

Подставляя эти выражения в первое из уравнений (110) и в уравнение (111), получим следующие два уравнения; служащие для определения неизвестных функций

Граничные условия для будут те же, что и в случае несжимаемой жидкости:

Граничные условия для безразмерного теплосодержания могут быть разнообразны. Если задана постоянная вдоль всей пластинки безразмерная температура то граничные условия запишутся в виде:

Если на пластинке отсутствует теплоотдача, то граничные условия сведутся к следующим равенствам:

Интегрирование уравнений (113) в общем случае представляет большие затруднения, так как приходится производить численное интегрирование уравнений с несколькими характерными параметрами:

Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом вязкости и температурой линейна В этом случае вместо (113) получим систему уравнений:

Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных условиях (114), ничем формально не отличается от соответствующего уравнения (71) и граничных условий (71) задачи о пограничном слое на пластинке в несжимаемой жидкости, гак что для определения функции можно пользоваться приведенной ранее табл. 14. Но тогда, интегрируя второе уравнение системы (117), подобно тому как это было сделано в конце § 85, найдем значение в форме:

где введено обозначение

а произвольные постоянные интегрирования должны быть определены из начальных условий (115) или (116). Полагая

найдем значение постоянной полагая получим

Обозначим теперь через значения теплосодержания и температуры пластинки в условиях (116) отсутствия теплоотдачи, т. е. тогда, когда пластинка играет роль измерителя температуры потока — пластинчатого термометра. Условие отсутствия теплоотдачи будет:

Дифференцируя (118) и замечая, что но (119) будет найдем в этом частном случае т. е. по (120) при получим

или, переходя к размерным температурам:

где

Тогда постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи с поверхности пластинки можно представить, согласно (120) и (121), в следующем виде:

Проанализируем полученные результаты. Прежде всего убедиться, что при Мгао соотношение (118) в переменной С совпадет с ранее выведенной формулой (74) для несжимаемой жидкости в переменной принятой в § 85; полученное таким путем равенство

дает распределение температур в пограничном слое на пластинке, обтекаемой несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи между коэффициентом вязкости и температурой.

Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями, когда влиянием сжимаемости (числа ) пренебрегать нельзя, будем предполагать, что функция затабулирована для различных а. Для дальнейшего особенно важно знать величины приводим их значения при нескольких :

Обращаясь теперь к формуле (122), видим, что она представляет для случая решение задачи об измерении температуры газового потока при помощи непосредственного замера температуры поверхности продольно обтекаемой этим газом пластинки, при условии, что тепло от пластинки не отводится (нет теплоотвода через державку и проволочки измерительной термопары). Как наглядно показывает формула (122), такой пластинчатый термометр будет вместо температуры потока показывать тем большую температуру чем больше число Это и естественно, так как пластинка тормозит поток и, вследствие перехода энергии потока в тепло, должна дополнительно нагреваться. Конечно, это торможение будет не изэнтроническим, так как связано с переходом механической энергии в тепловую и повышением энтропии. Однако, как это сразу следует из формулы (122), при термометр будет показывать температуру адиабатического и изэитропического торможения

при других значениях а это уже не так:

Формула (122) может служить для вычисления поправок на указания пластинчатого термометра в газе с заданным числом а, отличным от единицы.

Температуру, определенную по формуле (122), будет также иметь поверхность самолета или снаряда в установившемся их движении. При больших значениях эти температуры достигали бы катастрофических для металла и материалов значений; для борьбы с этим необходимо применять охлаждение поверхностей изнутри. Имеющее место при высоких температурах влияние лучеиспускания также способствует понижению поверхностной температуры.

Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластинки, имеющей температуру вычислим размерную производную от температуры по нормали к пластинке на поверхности пластинки. Имеем, переходя к размерным величинам:

откуда следует:

Но по (118)

кроме того, к случае пластинки, по формуле Клапейрона:

Используя ранее выведенное значение С (124) и исключая или получим:

отсюда уже нетрудно том или другом виде рассчитать теплоотдачу.

Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластинки, найдем сначала напряжение трения Имеем, переходя к размерным величинам:

откуда следует:

причем имеет то же значение, что в несжимаемом газе, и равно по предыдущему (§ 85) Итак, если при константы в формуле коэффициента местного трения определены

для набегающего потока, то коэффициент, местного трения остается тем же, что и в случае несжимаемой жидкости:

Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления коэффициента сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь явные формулы связи между новым переменным С и обычным так как в окончательные выражении входят лишь значения величин при или

Несколько сложнее решается вопрос о распределении скоростей и температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные распределения скоростей и температур отнесены к переменному С, выражающемуся через обычные размерные координаты по формуле:

в свою очередь зависящей от распределения температур. Дифференцируя по у, получим:

Связь между определится интегральным соотношением:

На рис. 171 и 172 1 приводим графики влияния числа на профили скоростей и температур при для пластинки, температура которой путем охлаждения поддерживается равной температуре набегающего потока. На обеих кривых обращает на себя внимание факт возрастания с числом толщины пограничного слоя

(кликните для просмотра скана)

(скоростного и температурного). Профиль скоростей с ростом числа урезывается, становится более пологим.

Рис. 174.

Температура при удалении от источника охлаждения стенки — сначала возрастает, а затем возвращается к прежнему значению, причем максимум отношения

где температура адиабатически и изэнтропически заторможенного газа, следуя расширению пограничного слоя, отодвигается от стенки, но сохраняет неизменной свою величину.

Сравнение этих кривых с кривыми, показанными на рис. 173 и 174, соответствующими случаю сильного охлаждения пластинки говорит о некотором уменьшении толщин пограничных слоев и естественном снижении максимумов температуры.

На рис. 175 демонстрируется факт спрямления кривых распределения скоростей в координатах по мере роста в случае отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины.

Рис. 175.