§ 78. Понятие о подобии гидродинамических явлений. Безразмерные уравнения движения вязкой жидкости и газа. Условия подобия

Два физических явления называют подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые для всех точек множители, называемые коэффициентами подобия.

Пусть некоторая характерная величина для первого явления, значение той же величины в сходственной пространственно-временной точке второго, сравниваемого с первым и подобного ему, явления. Тогда одинаковое для всех пар сходственных точек отношение величин

и определит коэффициент подобия Выберем теперь совершенно произвольно какую-нибудь одну пару сходственных точек, почему-либо особенно характерную для сравниваемых явлений, например, "бесконечно удаленную" или "критическую" точку в случае обтекания тел, точку на оси трубы в установившемся протекании жидкости и т. п. Пусть значения величины в этой характерной паре точек будут, соответственно, Тогда по определению подобия имеем:

или, исключая коэффициент подобия,

Назовем пару величин масштабами величин в сравниваемых между собою двух явлениях. Из последнего равенства вытекает, что в любых двух сходственных точках подобных между собой явлений безразмерные отношения величин к своим масштабам одинаковы. Иначе говоря, два подобных явления различаются лишь масштабами величин.

Выделим в данном явлении характерные для него масштабы: времени, линейных размеров, скоростей, плотностей, давлений, температур и других определяющих явление величин. Масштабом времени может

служить, например, период колебательного процесса, время прохождения телом какой-нибудь характерной длины (в частности, длины самого геля) и масштабом длин — линейный размер тела, диаметр трубы и масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и др. — соответствующие их значения в набегающем потоке "на бесконечности" или те же величины, построенные по заданным объемным, массовым, тепловым расходам, мощностям и другим характерным для явления и известным наперед величинам. Разнообразие выбора масштабов явления велико и не может быть заранее ограничено какими-то общими указаниями.

Если выразить все величины, служащие для описания явления, в частях своих "масштабов", то эти величины станут безразмерными. Такими же безразмерными окажутся и уравнения, характеризующие явление, и граничные и начальные условия, если входящие в них величины заменить произведениями масштабов на соответствующие безразмерные величины.

Сделаем это в только что выведенной системе уравнений динамики вязкой жидкости, причем удовольствуемся для простоты случаем стационарного обтекания тела при отсутствии объемных сил. В этом случае время явно не входит и масштаб времени можно не вводить; точно так же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем за масштабы: один из размеров тела I и величины "на бесконечности" , и т. д. Условимся временно (это не приведет здесь к путанице) обозначать безразмерные величины теми же буквами, что и размерные. Тогда замена размерных величии на безразмерные сведется к замене:

Исключение сделаем лишь для давления приняв вместо отношения известный уже нам по предыдущему коэффициент давления

Это выражение и примем за безразмерное давление. Таким образом, для давления произведем замену:

Подчеркнем, что эта уступка общепринятым обозначениям не имеет существенного значения и не ставит давление в какое-то особенное положение.

Замечая, что масштабы являются величинами постоянными, не зависящими от координат, легко проведем указанную замену в системе уравнений динамики вязкого сжимаемого газа; будем иметь:

Разделим обе части первых трех равенств на коэффициент при безразмерном конвективном ускорении. В четвертом равенстве масштабный множитель пропадет. Обе части пятого равенства разделим на выражение В шестом равенстве произведем приведение к одному знаменателю и простые сокращения, В седьмом воспользуемся произволом в выборе и положим Тогда будем иметь в безразмерных величинах:

Величина:

где - некоторые характерные для данного движения величины, называется по имени известного гидродинамика XIX в., который впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса (кратко, "число Входящее в предыдущие уравнения число

обозначим через и будем называть "числом на бесконечности" или "числом набегающего потока". Далее, заметим, что в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости деформаций отсутствуют и движение вязкой жидкости совпадает с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, "на бесконечности" можно применять газодинамические формулы, изложенные ранее в гл. IV и VI для идеального газа. Будем, в частности, иметь (здесь в промежуточных выкладках временно появляется газовая постоянная обозначение которой не должно быть спутано с числом Рейнольдса):

Заметив это, получим окончательно следующую систему безразмерных уравнений стационарного движения вязкого газа.

К этой системе уравнений присоединяются безразмерные граничные условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Для конкретного случая обтекания тела эти граничные условия приведутся к заданию в безразмерном виде уравнения поверхности, равенства пулю на ней неличины скорости, заданию распределения безразмерной температуры (теплосодержания) или нормальной ее производной, а также безразмерных значений скорости и температуры на бесконечности, равных при ранее выбранных масштабах единицам, и коэффициента давления, равного на бесконечности нулю. Безразмерная система уравнений и граничных условий движения жидкости или газа представляет некоторый самостоятельный интерес, так как позволяет изучать не только отдельное единичное движение, но одновременно весь класс движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров тел, скоростей, температур и т. д.

Вместе с тем безразмерная система уравнений позволяет просто и наглядно установить условия подобия двух движений жидкости или газа, что полезно для моделирования натурных явлений в лабораторных условиях, для обобщения результатов эксперимента и др.

Предположим, например, что рассматриваются два подобных стационарных обтекания вязким газом тела или системы тел, причем влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых тел в обоих движениях будут геометрически подобны и подобно расположены по отношению к набегающим потокам, что входит в определение геометрического подобия, представляющего часть условий общего подобия явлений. При наличии геометрического подобия безразмерные (т. е. отнесенные к масштабам длин в сравниваемых явлениях) координаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми отвлеченными числами. Безразмерные граничные условия будут также

одинаковы; одинаковыми окажутся и безразмерные величины скоростей, давлений и другие в сходственных точках потока, представляющие решения безразмерной системы уравнений (21). Следовательно, одинаковы должны быть и сами безразмерные системы уравнений. Как видно из структуры системы (21), при этом в двух подобных системах должны иметь одно и то же значение величины и а; если задана температура на поверхности обтекаемого тела, то из безразмерных граничных условий для температуры будет еще вытекать одинаковость отношения размерных температур на стенке в каких-нибудь сходственных точках к температуре на бесконечности. Это отношение температуры на стенке обтекаемого тела к температуре набегающего потока называют температурным фактором.

Отсюда следует прямая теорема подобия: если два стационарных движения вязкой жидкости или газа при отсутствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие этим движениям числа и одинаковы для обоих рассматриваемых движений. Естественно возникает вопрос об обращении этой теоремы, т. е. об установлении необходимых и достаточных условий подобия двух гидроаэродинамических явлений. Однако решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказательства теоремы о существовании и единственности решений уравнений, что и настоящее время сделано лишь в ряде простейших случаев. Кроме того, разнообразие постановок задач о движении жидкости и газа также вызывает некоторые трудности. В случае изотермического стационарного обтекания тел несжимаемой вязкой жидкостью необходимыми и достаточными условиями подобия обтекания двух тел являются: 1) геометрическое подобие и их расположения по отношению к набегающему потоку и 2) одинаковость числа При обтекании тел сжимаемым газом, при отсутствии теплоотдачи на поверхности тел к предыдущим условиям присоединяются еще условия одинаковости в обоих движениях чисел Число а при этом можно считать одинаковым, согласно равенству (6), или включать одинаковость о отдельным условием в тех случаях, когда это равенство не справедливо, например, в случае жидкостей. При задании температуры на стенке к числу условий присоединяется еще условие одинаковости "температурного фактора".

Аналогичное рассуждение, проведенное, в более общем случае наличия объемных сил, например, сил веса, привело бы еще к необходимости введения числа Фруда ускорение силы тяжести), а при нестационарности движения — числа Струхала

(иногда где —характерный для нестационарного движения, заданный наперед промежуток времени (например, время полного оборота винта и др.), число оборотов, или угловая скорость. Указанные только что величины: входят в число необходимых и достаточных условий подобия двух движений жидкости или газа. Наряду с этими, как иногда говорят, "определяющими критериями" подобия имеются и другие также характерные для явления безразмерные величины, одинаковость которых в двух подобных явлениях является следствием подобия. Примером таких величин могут служить коэффициенты подъемной силы, волнового и индуктивного сопротивления крыла, коэффициент сопротивления трубы (см. далее) и др. Для двух подобных обтеканий тел эти коэффициенты имеют одинаковое значение, однако они являются лишь косвенными, "иеопределяющими" критериями подобия. В неподобных обтеканиях геометрически подобных и подобно расположенных тел "неопределяющие" критерии являются функциями "определяющих". Вспомним, например, формулы зависимости коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления пластинки от числа

Установлением условий подобия, как строгих, так и приближенных (не все условия подобия на самом деле одинаково важны), занимается специальная теория, пособия, которая в последнее время, в связи с развитием экспериментальных исследований, получила большое распространение.