§ 88. Способы определения функций ... Приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя

Для определения функций следует задаться семейством профилей скорости, в той или другой степени апроксимирующим скорости в сечениях пограничного слоя. Так, если вернуться к семейству профилей скорости (92), то функции определятся для польгаузеновского приближения. Имея в виду, что это приближение недостаточно для описания кормовых течений в пограничном слое вблизи отрыва, примем вместо (92) в качестве апроксимирующих функций следующее семейство

причем входящие в правую часть равенства три коэффициента определим из условия подчинения граничным условиям на

Первые два условия уже известны нам по предыдущему, а последнее легко выводится из основных дифференциальных уравнений (89) дифференцированием первого из них по у и последующей заменой

Коэффициенты при этом выразятся через параметр X и показатель степени

Имея в виду, что семейство (98) должно быть однопараметрическим, так как мы располагаем для определения параметра или связанного с ним параметра X лишь одним уравнением (95), выразим показатель степени через параметр При этом используем имеющийся произвол в выборе для того, чтобы по возможности приблизить семейство (98) к тем профилям скорости, которые в действительности имеют место при некоторых, хотя бы и частных, условиях движения (распределения скоростей во внешнем потоке). Можно ожидать, что такое уточнение формы профилей скорости приблизит нас к искомому решению. Естественно обратиться к семейству профилей скорости, полученному в § 86, так как оно заключает в себе профили, относящиеся как к ускоренному внешнему потоку (лобовая часть профиля), так и к замедленному (кормовая часть), т. е. по общему своему характеру близко ко всякому пограничному слою на крыле. Согласно (83) и (83) имеем:

следовательно, по определению условной толщины пограничного слоя 8, в этом случае при данном должно выполняться равенство:

откуда следует, что Тогда из уравнения (93) при вытекает:

что дает уравнение связи между :

Потребуем, чтобы безразмерная величина заданная формулой (86) и представленная на основании приближенного профиля (98) и равенства (99) в форме:

была равна помещенным в табл. 17 точным значениям Используем следующие очевидные выражения через

и пользуясь еще формулами (98), попытаемся подобрать такую связь между , чтобы желательное совпадение точных (табл. 17) и

Таблица 19 (см. скан)

Таблица 20 (см. скан)

приближенных (99) значений осуществилось. Как показывают вычисления, для этого достаточно положить

На рис. 169 сплошной кривой показана точная величина при различных (3, а крестиками — рассчитанная согласно системе уравнений (99) и (99) при линейной связи (100) между и совпадение получается вполне удовлетворительное.

Рис. 169.

В табл. 19 сведены значения

Пользуясь этой таблицей, легко разыскать и величины заданные равенствами (97) и (97). Эти функции приведены в табл. 20.

Большое удобство для практических вычислений представляет тот факт, что функция оказывается мало отличающейся от линейной функции

где: .

Благодаря этому уравнение (95) может быть приближенно заменено линейным уравнением:

имеющим интеграл

Если при то из условия конечности при следует и окончательное решение будет иметь вид:

при этом в начальной точке принимает значение:

При желании можно последовательно учитывать ошибку, получающуюся при замене линейной функцией, однако практически совершенно достаточно пользоваться формулой (101).

Используя систему уравнений "моментов" основного дифференциального уравнения пограничного слоя, можно, применяя совсем простые семейства профилей скорости, получать вполне удовлетворительные решения задачи. Под уравнениями "моментов" здесь подразумеваются результаты интегрирования по в интервале от до со или обеих частей первого уравнения пограничного слоя, умноженных на последовательные целые степени у.

Так, например, используя три первых "момента" и профили скоростей, соответствующие сечениям пограничного слоя на пластинке, не заключающие параметра, удается получить следующие простые формулы для функций

с достаточной степенью приближения заменяющие ранее приведенные таблицы и сильно упрощающие расчет. На рис. 170 приведены для сравнения основные кривые рассчитанные по семейству профилей (98) при соотношении (100) между (сплошные кривые) и построенные по только что приведенным формулам (пунктирные кривые). Величина вблизи отрыва получается несколько заниженной.

А. М. Басин выбрал семейство профилей скорости в сечениях слоя в форме:

хорошо отображающей изменение характера профилей скорости в сечениях слоя. Соответствующую таблицу функций можно найти в цитированной работе А. М. Басина.

В только что перечисленных работах точные решения уравнений пограничного слоя или использовались частично или совсем не использовались.

Рис. 170.

Можно было бы и, наоборот, полностью использовать точные профили скоростей, соответствующие классу (табл. 16). В этом случае, согласно формулам (85), будем иметь:

используя (86), (97) и (97),

Задаваясь различными значениями получим табл. 21 искомых функций

Таблица 21 (см. скан)

А. П. Мельников для лобовой части крыла сохранил полиномиальное приближение Польгаузена (92), а для кормовой, где необходимо уточнение, использовал профили скоростей, соответствующие классу точных решений Хоуорта для линейного закона убывания скорости Полученные решения сращиваются в точке минимума давлений.

Изложенный метод расчета ламинарного пограничного слоя проводится по следующей схеме. Распределение скоростей во внешнем потоке определяется или расчетом по теории, изложенной в конце гл. V, что можно рекомендовать лишь в случаях, когда можно заранее ручаться за безотрывное обтекание, или путем пересчета по теореме Бернулли с экспериментально замеренного распределения давлений.

Пользуясь так или иначе определенной функцией можем, вычисляя квадратуру (101), найти толщину потери импульса

Для определения необходимо иметь значения которые приходится, как правило, вычислять приближенно по графику что ослабляет точность результатов; подчеркнем, что для разыскания знания не требуется.

Определив по (101), легко найдем остальные интересующие нас величины:

Практически приходится иметь дело с безразмерными величинами, которые временно отметим черточками сверху:

при этом будем иметь следующие формулы:

причем последнее выражение представляет местный коэффициент сопротивления трения, который будем в дальнейшем отличать от полного коэффициента сопротивления трения выражающего в безразмерном виде суммарное трение по всей поверхности обтекаемого тела.

Абсцисса точки отрыва пограничного слоя от поверхности обтекаемого тела определится из условия как корень системы уравнений:

причем находится прямо по табл. 20 или 21.

Многочисленные расчеты показали, что выбор постоянных входящих в основную квадратуру (101), и зависимостей мало влияет па ход Кривых по х в лобовой области крыла, где внешний поток ускоряется, а начинает резко сказываться лишь в кормовой части пограничного слоя за минимумом давления, где внешний поток замедляется.

Разница становится особенно заметной непосредственно вблизи отрыва пограничного слоя и оказывает существенное влияние на определение абсциссы точки отрыва.

В табл. 22 помещены значения констант для различных изложенных выше истодов, а также сравнительные значения абсциссы отрыва для чисто замедленного движения с внешней скоростью, заданной формулой Для этого частного случая имеется точное решение Хоуорта (см. ссылку на стр. 562), дающее

Таблица 22 (см. скан)

Метод А. П. Мельникова в сравнительную табл. 22, естественно, не вошел, так как базируется на точном решении Хоуорта, выбранном в качестве образца для сравнения.

Из сопоставления цифр последнего столбца табл. 22 можно сделать вывод, что метод Польгаузепа даст сильно завышенную абсциссу отрыва, отличающуюся от точной на 30%, первый из изложенных в настоящем параграфе метод также дает некоторое завышение, но всего только на 5%. Остальные методы приводят к преуменьшенным абсциссам.

Изложенный приближенный метод легко обобвоется на случай пограничного слоя на геле вращения, обтекаемом осесимметричным потоком. 1

При этом параметр и все зависимости и остаются теми же, что и в плоском случае. Отличие получается лишь в форме основной квадратуры (101), которая в случае тела вращения с контуром меридионального сечения, заданным уравнением отсчитывается по обводу меридионального сечения), будет иметь вид: