ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметричность

В динамике сплошной среды, так же как и в кинематике, применяется общий прием замены значений физических величин, относящихся к отдельным частицам среды, непрерывным распределением этих величин в пространстве.

Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа содержащий внутри себя данную точку пространства, и пусть масса этого объема будет скалярная величина, определяемая предельным выражением

причем предполагается, что при стремлении объема к нулю точка все время остается внутри объема, называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке

Обратную величину называют удельным объемом. Плотность движущейся или покоящейся жидкости (газа) зависит от различных обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения среды. В конечном счете плотность представляется некоторой функцией координат и времени

и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и нестационарным.

В технических вопросах часто вместо плотности предпочитают иметь дело с удельным весом, определяемым как предел отношения веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен

где ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным

Из формул (1) и (2) следует:

Поверхности или, в частном случае плоского распределения, линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими поверхностями или линиями, короче, изостерами (от греческого слова что означает плотный).

Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измеряется технических единицах удельный вес — в

Приводим несколько наиболее употребительных средних величин плотностей и удельных весов жидкостей и

Таблица I (см. скан) Удельный вес жидкостей

Таблица 2 (см. скан) Плотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст.

При оценочных расчетах можно принимать для воздуха значение плотности при

для воды при той же температуре:

Таблица 3 (см. скан) Удельные веса некоторых газов при 0°С и 760 мм рт. ст.

Согласно закону Авогадро, килограммолекулы всех газов при одинаковых условиях (давление, температура) занимают один тот же объем, иными словами, каков бы ни был газ с молекулярным весом его удельный вес равен отношению молекулярного веса к объему килограммолекулы, одинаковому для всех газов и при равному 22,4 т. е.

так, например, для водорода имеем следовательно, для кислорода О, будет следовательно,

Плотность воды, так же как и других капельных жидкостей, слабо зависит от температуры и почти не зависит от давления, так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости меняется сравнительно мало.

Так, например, относительное изменение объема воды при увеличении давления на одну атмосферу и при сохранении температуры несколько менее 0,00005, глицерина — 0,000025, керосина — 0,000077, спирта —0,00011.

Наоборот, плотность газов сильно меняется с давлением и температурой. Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при данной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению, а по закону при данном давлении плотность газа растет пропорционально его абсолютной температуре.

Силы, приложенные к частицам жидкости или газа, можно разбить на два класса: 1) массовые или объемные силы и 2) поверхностные силы,

К первому классу относятся силы, приложенные ко всем частицам среды, заполняющим некоторый объем, как, например, силы веса, тяготения, электростатического притяжения, а также, в известном условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу — силы, непосредственно действующие лишь на боковую поверхность выделенного жидкого объема, как, например, давление твердого тела на обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др.

Массовые силы будем задавать вектором интенсивности или плотности их распределения, который можно определить как предел

отношения главного вектора массовых сил, приложенных к частицам объема к массе этого объема Тогда массовая сила, приложенная к элементу объема в данной точке, будет равна В случае, например, силы веса плотностью распределения массовых сил будет служить вектор ускорения силы тяжести

Поверхностные силы, аналогично, будут задаваться плотностью своего распределения или напряжением

где главный вектор сил, приложенных к некоторой площадке . Вектор поверхностной силы, приложенной к площадке в данной точке пространства, равен т. е. произведению вектора напряжения на величину элементарной площадки.

Отметим основное различие между векторами в то время как вектор является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. образует векторное поле, вектор принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентировки плащадки, к которой приложено напряжение. Можно сказать, что напряжение представляет функцию двух векторов: вектора-радиуса точки и орта нормали к площадке в выбранной точке.

Рис. 24.

Возьмем в точке сплошной среды площадку ориентация которой в пространстве определяется ортом нормали к площадке (рис. 24). Откинем мысленно часть жидкости с положительной стороны площадки, куда направлен орт и заменим действие откинутой части жидкости на площадку некоторой поверхностной силой где значок отмечает, что сила приложена к площадке с ортом нормали Если бы, наоборот, была откинута часть жидкости с отрицательной стороны, то эквивалентная действию откинутой жидкости сила, приложенная к площадке, была бы, согласно закону действия и противодействия, равна .

Вектор напряжения как уже упоминалось, зависит от ориентации площадки в данной точке Попытаемся определить такую величину, которая была бы однозначной функцией положения

точки т. е. не зависела бы от ориентировки площадки, и вместе с тем служила бы для определения напряжения в зависимости от заданного орта площадки.

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале § 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели не только от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства.

Рис. 25.

Рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр (рис. 25), с вершиной в данной точке основанием — треугольником образованным пересечением наклонной плоскости тремя координатными плоскостями и имеющим площадь и боковыми гранями в координатных плоскостях с площадями

Значок при элементарных площадках, так же как и при напряжениях, приложенных к ним, обозначает ось, перпендикулярную площадке.

Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е. состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение движения центра тяжести этой системы частиц, общая масса которых пусть равна будем иметь

где вектор ускорения центра тяжести тетраэдра, плотность распределения объемных сил в жидкости, векторы напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок т. е. с той стороны, куда направлены векторы и к (на рис. 25 показаны векторы ориентированных площадок в правой части уравнения (6) при последних трех членах стоят знаки минус, так как внешние стороны площадок при принятом направлении ортов осей оказываются отрицательными.

В уравнении (6) член слева и первый член справа, как величины третьего порядка малости, содержащие элемент массы, пропорциональной объему, можно откинуть по сравнению с остальными членами, пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь

Замечая, что:

получим:

или в проекциях на оси декартовых координат;

Припоминая определение напряжений заметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение; так, например, обозначает проекцию на ось z напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной оси х.

Величины называют нормальными напряжениями, касательными напряжениями.

Система равенств (10) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются простой линейной зависимостью через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти величин:

причем зависимость эта совершенно аналогична системе равенств (20) § 7.

Вспомним данное в § 7 гл. 1 общее определение тензора 2-го ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены на проекции физического вектора по формулам типа (20) § 7 гл. I или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяют проекции также физического вектора.

Согласно этому определению, совокупность девяти напряжений (11) образует тензор 2-го ранга, который обозначим заглавной буквой и назовем тензором напряженности или тензором напряжений.

Вектор напряжения приложенный к любой наклонной площадке с ортом определяется как произведение этого орта на тензор напряженности по формулам (10) или, в синтетической форме,

Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное мнопкестяо векторов напряжений зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, и один тензор характеризующий напряженность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10) или (12) через значение тензора напряженности в данной точке. Отдельные компоненты тензора образующие таблицу (11), зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую определенное состояние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно, выбора координат.

Применим теперь теорему моментов к движению жидкого тетраэдра, причем, по предыдущему, пропустим, как малые высшего порядка, члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра. Тогда, обозначая через (рис. 25) векторы-радиусы по отношению к точке точек приложения векторов напряжений

граней, будем иметь:

или по (8)

с другой стороны, умножая некторно на обе части равенства (9), получим:

отсюда почленным вычитанием найдем:

С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно считать, что напряжения распределяются по граням равномерно, и, следовательно, главные векторы их приложены в центрах тяжести граней, т. е. на пересечениях медиан соответствующих треугольников, в точках причем точки будут проекциями точки на координатные плоскости; отсюда следует:

так что предыдущее равенство переписывается в виде:

Докажем, наконец, что

для этого заметим, что плоскость параллельна плоскости или, что все равно, плоскости так как но определению гачек пересечения медиан треугольников:

При этом нормаль будет нормалью и для плоскости так что

или

а следовательно,

После этого равенство (13) переходит в соотношение

проектируя которое на оси координат, получим:

Система равенств (14) выражает теорему о взаимности касательных напряжений: если в некоторой точке сплошной среды провести две взаимно перпендикулярные элементарные площадки, то проекции напряжений, приложенных к каждой из площадок, на ось, перпендикулярную к другой площадке, будут между собою равны. Еще иначе эту теорему можно проформулировать так: тензор напряженности симметричен.