§ 69. Метод «особенностей». Применение непрерывно распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи о продольном и поперечном обтекании тел вращения

Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные "особенности" потока — системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии — непрерывные их распределения.

Предположим для определенности, что на отрезке оси задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности Тогда потенциал возмущенного движения, созданного этой системой "особенностей", будет, согласно второй из формул (21) § 61, равен (знак минус введем в определение интенсивности

Если задаться видом функции то, вычисляя интеграл (70), получим потенциал скоростей, а дифференцирование по позволит вычислить и проекции скорости Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданвой скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой.

Однако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным.

Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (22) § 61, можно составить и потенциал поперечного обтекания тела вращения, складывая однородное натекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку — с диполей интенсивности

Здесь также можно задаваться распределением интенсивности или, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.

Не останавливаясь на изложении этих, в настоящее время уже малоупотребительных методов, укажем лишь на простую связь с методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты

Разобьем ось симметрии тела вращения на две области: одну, определяемую интервалом

заполненным "особенностями", и вторую, представляющую остальную часть где . С точки зрения эллиптических координат введенных в начале § 66, отрезок, на котором расположены "особенности", можно представить, согласно второй формул (53), так:

а остальную часть оси как

Тогда, сравнивая между собою вне отрезка выражения потенциалов возмущений (70) и (71) с соответственными выражениями тех же потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие два равенства:

которые при заданных коэффициентах можно рассматривать как два интегральных уравнения для определения неизвестных функций

Интегральное уравнение (72) может быть легко решено, если искать решение в виде ряда

Подставляя это разложение в (72), получим:

Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра

перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде

откуда будет сразу следовать искомое решение:

Для разыскания второй неизвестной функции продифференцируем раз по и другой раз по известное разложение

тогда получим

Подставляя это разложение в интегральное уравнение (73), преобразуем его к виду:

Подставляя сюда разложение неизвестной функции в форме

и замечая, что в силу ортогональности полиномов Лежандра:

убедимся в справедливости равенства

Итак, имеем:

Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты

Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты и легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты 1).

Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением можно определить из следующих двух простейших предположений:

1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности тела составляющую скорости возмущения равной скорости плоского движения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие непроницаемости поверхности даст:

откуда

причем представляет заданное уравнение контура меридионального сечения;

2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем из условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями обтекался так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении. Это приведет к равенству: