ГЛАВА VI. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения
Общие уравнения изэнтропического плоского стационарного безвихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объемных сил и отвода тепла, согласно изложенному в гл. III, можно свести к интегралу Бернулли:
уравнению неразрывности:
и уравнению изэнтропы:
к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря:
Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде:
и произведем в этом равенстве замену:
или по (1):
Тогда уравнение (2) после простых преобразований сведется к такому:
В этом уравнении две неизвестных функции 
могут быть сведены к одной — потенциалу скоростей 
так как, согласно (4), будем, очевидно, иметь:
Что касается величины 
то связь ее со скоростью газа V в данном месте определяется интегралом Бернулли
так что
Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции 
, вопрос об интегрируемости которого при заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью 
плотностью 
давлением 
Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем иметь:
где величины 
так же как и их производные по координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать их квадратами и произведениями.
В этом предположении будем иметь вместо (5) следующее линейное уравнение:
которое, после введения числа 
перепишется так:
Разбивая потенциал скоростей о на потенциал однородного потока и малый потенциал 
возмущений, будем иметь:
после чего уравнение (8) приведется к виду:
Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая функция 
по аналогии с несжимаемым потоком называемая функцией тока, что
В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа разобьем функцию тока 
аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока 
возмущений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного, положив
тогда, согласно 
будем иметь:
или, откидывая малые второго порядка:
Освободимся в первом из этих равенств от 
выразив его через добавочную скорость и, согласно формуле Бернулли, переписанной, в силу уравнения изэнтропы, в виде:
Будем иметь, задавая константу на бесконечности,
или
Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем:
Если последние выражения 
подставить в условие отсутствия завихренности (4), то получим уравнение относительно 
аналогичное уравнению (10) относительно добавочного потенциала 
Уравнения (10) и (15) представляют линеаризированные уравнения плоского безвихревого движения сжимаемого газа; их следует решать при обычных граничных условиях для скорости на бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости). Покажем ход решения линеаризированных уравнений на простейших примерах.
