§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого удлинения. Приближенные выражения граничных условий. Применение тригонометрических сумм для определения коэффициентов ...

В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т. е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8—12). Так же как и в теории крылового профиля, это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.

Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом, значительно более простым, чем изложенный в предыдущих параграфах. Изложим вкратце основную идею этого приближенного метода, принадлежащего Серебрийскому. Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов при продольном и -при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между определяющая форму контура в меридиональной плоскости, тем меньше коэффициентов можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством т. е. разобранным ранее случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе по форме исследуемое тело к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Совершенно так же, как при решении плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы (§ 48 гл. V), заметим, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечения наибольшей оси с поверхностью эллипсоида и центры кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства

Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений X, мало превышающих значение или соответствующее отрезку оси

соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций и при лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых 5 будут иметь место равенства:

где — малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что, согласно равенствам (66), при малых все функции и в первом приближении не зависят от индекса

Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом приближении будет, согласно (66), иметь вид:

где производная представляет известную функцию величины Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов можно, пользуясь приведенными в § 66 выражениями полиномов Лежандра, написать тождество:

из которого можно вывести выражения коэффициентов через . Так, например, при имеем:

Представив контур меридионального сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах

определим тем самым числа а уже после этого, согласно тождеству (67), и величины коэффициентов что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании Удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены что приведет ко второму и следующим приближениям.

Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура координата изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от до при этом [а остается в пределах таким образом, можно считать, что производная — имеет порядок сравнительно мала. Отсюда следует, что величина

имеет порядок единицы.

Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина

мала по сравнению с величиной Действительно,

Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63) первый одночлен имеет при малых 5 порядок второй — Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где мало, точное граничное условие поперечного обтекания (63) может быть заменено на приближенное:

или

Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми коэффициентами и существует простое соотношение:

В первом приближении обе задачи — продольного и поперечного обтекания — решаются одновременно и сравнительно легким путем.

Изложение приемов построения второго и следующих приближений можно найти в ранее цитированной статье Я. М. Серебрийского.

Определив коэффициенты найдем выражения потенциалов и компонентов скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при любом угле атаки. Отметим, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для и приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела X возрастает, и формулы (66) становятся все менее и менее точными.