§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости. Сохраняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения. Диффузия вихря в вязкой жидкости

Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости, сравним между собою поведение вихревых линий в потоке идеальной и вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в движущейся жидкости существует вихревая линия (рис. 159), т. е. векторная линия вектора и рассмотрим жидкую линию образованную в момент теми же жидкими частицами, что и линия в момент

Если жидкая линия представляющая новое положение пихревой линии к моменту времени является также вихревой линией, т. е. векторной линией вектора-вихря отличающегося от вектора на соответствующее индивидуальное изменение

вектора-вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая линия сохраняется, в противном случае — что она разрушается. Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых линий.

Докажем прежде всего теорему Гельмгольца: в движущейся под действием консервативных объемных сил идеальной несжимаемой жидкости вихревые линии сохраняются.

Рис. 159.

Рассмотрим два смежных положения одной и той же жидкой линии (рис. 159): в момент времени и в момент пусть представляет вихревую линию, соответствующую вектору Сравним между собою бесконечно малый "жидкий", т. е. состоящий из определенных частиц жидкости, вектор и его перемещенное и деформированное положение бесконечно малых перемещениях жидкости с точностью до малых высших порядков прямолинейные отрезки остаются прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника

или, замечая, что по условию (А — произвольный бесконечно малый скаляр):

получим

Вспомним теперь указанное еще в гл. III уравнение (15) Гельмгольца-Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости принимает упрощенную форму:

Тогда предыдущее равенство принимает вид:

что и доказывает теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой линии оказывается направленным по вектору представляющему приращенный за время вектор

Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости была обобщена А. А. Фридманом на случай сжимаемого газа.

Рассмотрим теперь ту же вихревую линию в несжимаемой, но вязкой жидкости. Прежде всего выведем в случае вязкой несжимаемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца. Для этого, взяв основное динамическое уравнение (16) § 77 и предположив объемные силы потенциальными, произведем в левой его части известное уже нам по гл. III преобразование:

Тогда будем иметь уравнение:

которое после проведения над обеими его частями операции дает:

Если использовать формулу (жидкость несжимаема)

и заметить, что в силу независимости операций частного дифференцирования по времени и в пространстве

получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай несжимаемой вязкой жидкости:

или, собирая первые члены в общий символ индивидуальной производной,

В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа

перепишем (45) еще в таком виде:

Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой жидкости (45) или (450 с уравнением соответствующего изменения вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой жидкости присутствует дополнительный член

пропорциональный кинематическому коэффициенту вязкости. Как сейчас будет показано на простом примере, этот член характеризует рассеяние или диффузию вихря в вязкой жидкости.

Если бы мы попытались повторить только что приведенное доказательство теоремы Гельмгольца о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы, что в результате появления дополнительного члена диффузии жидкий отрезок представляющий новое положение рассматриваемой вихревой линии, уже не соответствовал бы индивидуальному изменению вихря, характеризующему сохранение вихрн, как некоторого индивидуального образования. Завихренность в вязкой жидкости передается смежным жидким частицам и постепенно рассеивается во всем объеме жидкости. В вязкой жидкости вихревые линии разрушаются.

Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную вихревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки, увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости, так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное движение. Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться, превращаться за счет работы сил внутреннего трения в тепло, а вращательное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас будет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место как разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых, затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий.

Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнения (45), Рассмотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной вихревой линии в безграничной вязкой жидкости.

Дадим следующую постановку этой задачи. Пусть в некоторый начальный момент времени в несжимаемой вязкой жидкости имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить с циркуляцией

Легко убедиться в том, что хорошо известное нам по теории плоского безвихревого движения решение, представленное круговым движением частиц с распределением скоростей

имеет место и в случае движения безграничной вязкой жидкости. В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно, повсюду вокруг вихревой линии уравнения вязкой жидкости при этом ничем не отличаются от уравнений Эйлера, а единственное граничное условие при одинаково выполняется в обоих случаях. Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившееся круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение энергии извне от источника завихренности, например, от вращающегося в жидкости тонкого цилиндра.

Сущность рассматриваемой нами задачи как раз и заключается в рассмотрении того нестационарного процесса, который произойдет, если в некоторый момент времени удалить источник завихренности.

Перепишем основное уравнение (45) в развернутом виде:

и, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым, опустим оба нелинейных члена , так как первый из них равен нулю как производная от завихренности по направлению скорости движения, т. е. вдоль окружности, на которой, в силу предположенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю как производная от скорости в плоском движении по направлению вектора , перпендикулярного плоскости движения. Обозначим проекцию вектора на перпендикуляр к плоскости движения через и перепишем основное уравнение задачи в виде:

или в полярных координатах

Это уравнение 2-го порядка в частных производных должно быть разрешено при начальном условии

и граничном условии (t любое)

Уравнение (46), которое может быть еще переписано в форме широко известного уравнения теории распространения тепла

принадлежит к параболическому типу. Нашей задаче удовлетворяет простейшее его решение

в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение и ранее указанные начальное и граничное условия. Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса

равна циркуляции скорости по окружности радиуса

Будем иметь:

или, сравнивая с начальным распределением скоростей

найдем

Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределения вихря

и распределения скоростей

Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени движение повсюду было безвихревым. После удаления источника завихренности, т. е. в любой момент во всем пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния функцией Завихренность в центре монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при

Рассмотрим какую-нибудь окружность радиуса изменение со временем завихренности в точках этой окружности представится функцией (47) в виде:

Рис. 160.

Исследуя эту функцию на максимум или минимум, легко заключим, что в момент времени завихренность достигнет своего максимального значения:

при дальнейшем возрастании времени завихренность будет убывать.

Об общем характере зависимости от времени завихренности в точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по кривым, приведенным на рис. 160.

Кривые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 161.

Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безграничной вязкой жидкости. Несколько более сложно с математической стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и

цилиндрического вихревого слоя. Отметим интересное физическое явление: диффузия вихревой трубки тем значительнее, чем меньше ее диаметр. Благодаря вязкости, быстрее всего затухают мелкие вихри.

Обратим вновь внимание на тот существенный факт, что при любом Иными словами, заданное в начальный момент движение с течением времени затухает, а вся его кинетическая энергия рассеивается, превращаясь в тепло.

Рис. 161.