ГЛАВА V. БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной жидкости. Теорема Кельвина и Лаграижа. Безвихревое движение. Потенциал скоростей

Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности классам движений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее пространственное движение. Исследование этих случаев представляет, по сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности. Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику конкретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упрощающие допущения об общем характере движения. В обосновании выбора этих допущений основную роль играют следующие две общие теоремы динамики идеальной жидкости.

Теорема Кельвина о сохранении циркуляции скорости: при баротропном движении идеального газа под действием потенциального поля объемных сил циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру сохраняет свое значение.

Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце § 13 кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции скорости. Согласно этой теореме, индивидуальная производная по времени от циркуляции скорости равна циркуляции ускорения:

Подставим в правую часть выражение ускорения по основному Уравнению Эйлера (5) гл. III, которое в случае потенциальных объемах сил и баротропности движения может быть переписано в виде

тогда получим

так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой.

При однозначности функций контурный интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, так что

и, следовательно,

что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движения и потенциальности объемных сил сохраняются и интенсивности вихревых трубок:

Предположим теперь, что в данный момент времени во всех точках некоторого жидкого объема отсутствует завихренность т. е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь поступательное и деформационное движение; тогда, согласно (1), и в любой другой момент времени

В силу произвольности выбора величины и ориентации поверхности с из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет выполняться условие отсутствия завихренности

Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвина приводит ко второй теореме — теореме Лагранжа о сохранении безвихревого движения: если во всех точках некоторой баротропно движущейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в данный момент равен нулю, то и в любой другой момент движение будет безвихревым.

Предположим, например, что твердое тело совершает движение сквозь неподвижную идеальную жидкую или газообразную среду.

или, что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том и другом случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле скоростей однородно (жидкость покоится или движется как одно целое со скоростью, равной скорости движения тела по отношению к неподвижной среде). При этом вдалеке от тела вихрь скорости равен нулю и, следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения и потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной жидкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания тела. Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение повсюду будет безвихревым.

Из теоремы Лагранжа следует, что в идеальной жидкости, находящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий для их образования. Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою вихревую структуру. В действительности приходится постоянно наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений.. Главной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически интересующих нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в "аэродинамическом следе" тела, т. е. в жидкости, которая прошла сквозь область пограничного слоя и образовала течение за кормой обтекаемого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуется завихренность жидкости. Иногда в следе за телом завихренность быстро угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь безвихревым. В других случаях сошедший с поверхности тела слой завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые сносятся уходящим потоком и сохраняются даже на сравнительно больших расстояниях от тела. Таковы, например, отдельные вихри, наблюдаемые в виде воронок в реках за мостовыми "быками", или пыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду. Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в свободной атмосфере вдалеке от твердых поверхностей возникают непосредственно в воздухе грандиозные вихри — циклоны и антициклоны. Причиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха от баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от Давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией, количества водяных паров и других причин.

Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существование безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих фактических случаях дает близкую к действительности картину. Эта схема и положена в основу настоящей главы. Итак, сделаем допущение отсутствии завихренности потока и обратимся к рассмотрению основных свойств безвихревого потока.

В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока существует некоторая функция координат при стационарном движении или функция координат и времени при не стационарном движении — такая, что

или в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат:

Функцию о назовем потенциалом скоростей и будем предполагать, что она непрерывна вместе со своими первыми двумя производными по времени и координатам.

Потенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал скоростного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется с точностью до аддитивной постоянной, как это видно из равенств (4) или (5).

Рис. 51.

Равным значениям потенциала скоростей в различных точках пространства соответствуют поверхности уровня потенциала или изопотенциальные поверхности. Уравнение семейства изопотенциальных поверхностей будет

причем время рассматривается как параметр в случае нестационарного движения и отсутствует при стационарном движении. Из определения потенциала скоростей (4) следует, что линии, нормальные к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями тока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответствуют нормальные поверхности — изопопенциальные поверхности.

Имея заданным потенциальное скоростное поле, легко найти его потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах (4) или (5).

В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвязной области течения кривую линию С (рис. 51), выходящую из точки и оканчивающуюся в некоторой точке Умножив скалярно

обе части равенства (4) на ориентированный элемент дуги кривой С и проинтегрировав по этой кривой от точки до будем иметь

откуда сразу следует выражение для потенциала в любой точке через потенциал в некоторой начальной точке и заданные значения вектора скорости V или его проекций

Если течение во всей области безвихревое, то, замкнув (на рисунке пунктиром) кривую С при помощи кривой С так, чтобы точка совпала с получим, согласно (7):

так как циркуляция скорости по замкнутому контуру равная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок, в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается в нуль. Отсюда вытекают два важные следствия:

1°. Если в области течения нет вихрей (даже отдельных, изолированных вихревых нитей), то, согласно (8), потенциал скоростей представляет однозначную функцию координат;

2°. Интеграл в выражении (7) не зависит от формы кривой интегрирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по замкнутому контуру, состоящему (рис. 51) из участка представленного на рисунке сплошной кривой, и нанесенного пунктиром, следует:

Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолированная вихревая трубка (рис. 51). Производя в этом случае интегрирование по контуру С, вновь получим равенство (8); но другой результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (замыкание показано на рисунке пунктиром), как это следует из теоремы Стокса (§ 13), будет равен интенсивности вихревой трубки

и, согласно (7), потенциал в точке после обхода вихревой трубки окажется равным

Выйдя из точки и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку со значением потенциала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Г:

Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), определяется, как многозначная функция, точек поля. Значение потенциала скоростей в точке будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование:

К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с изолированными трубками можно подойти и иначе. Выделим из области течения жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая боковые поверхности изолированных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. При таком рассмотрении движения в жидкости уже не будет изолированных вихревых трубок, но зато сама область течения станет многосвязной. Действительно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (§ 12), вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются на граничные поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь в области безвихревого течения, не. может быть непрерывным преобразованием сведен в точку (рис. 52); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения при наличии изолированных вихревых трубок не односвязна. Для многосвязиых областей в ранее проформулированную (§ 13) теорему Стокса должно быть внесено исправление. Как видно из только что приведенного на примере вихревых трубок рассуждения, циркуляция скорости по замкнутому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность, нарушающую односвязность области течения, может быть отлична от нуля. Эта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур охватывает трубчатую поверхность, и не зависит от формы контура интегрирования. Значения циркуляций при однократном охвате поверхностей, нарушающих связность области, называют циклическими постоянными миогосвязной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интенсивностями вихревых трубок.

В общем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом потоке жидкости в многосвязпой области теорема Стокса должна быть сформулирована так: циркуляция скорости по замкнутому контуру, проведенному произвольным образом в многосвязной области, отличается от суммы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок на целых кратных циклических постоянных области.

Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно превратить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 53а), двусвязную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если дополнительно провести поверхность а, закрывающую отверстие кольца.

Рис. 52.

При наличии поверхности о проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведения а двусвязной области была отлична от нуля, то значение потенциала скорости на одной, скажем передней, стороне поверхности а будет отличаться от значения на задней стороне поверхности а на величину циклической постоянной хотя значение потенциала взято в одной и той же точке (рис. 536). В этом случае говорят, что потенциал скоростей при прохождении через поверхность а претерпевает конечный скачок а поверхность о называют поверхностью разрыва потенциала. Рассматривая поверхность а вместе с поверхностью как границу области, можно считать потенциал у непрерывным во всей области.

Изложенные здесь уточнения представлений об однозначности и многозначности потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют сновную роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел идеальной жидкостью и, в частности, теории крыла бесконечного и конечного Размаха. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в огосвязиой области при помощи введения присоединенной изолированной вихревой трубки или вихревой поверхности.

Рис. 53.