§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы. Основное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании

Индуктивное сопротивление представляет существенно положительную величину, независимо от того, каковы будут значения коэффициентов Отсюда сразу вытекает важное следствие: индуктивное сопротивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подъемной силе будет минимальным, если все коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю. Это, согласно равенству (104), соответствует распределению циркуляции:

или, возвращаясь к переменной z по

Переписывая последнее равенство в виде

убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла (несущей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси равной полуразмаху крыла I, по оси -максимальной по размаху циркуляции причем коэффициент можно выразить через эту максимальную циркуляцию

Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим. По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции индуктивное сопротивление минимально, в связи с этим крыло с эллиптическим распределением циркуляции играег центральную роль во всей теории крыла конечного размаха.

Рис. 154.

Всякое другое крыло стараются конструировать так, чтобы распределение циркуляции на нем, по возможности, приближалось к эллиптическому. Рассмотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией.

Прежде всего из формул (106) и (107) сразу следует важное заключение: при эллиптическом распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего размаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107) значения коэффициентов

получим:

Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием размаха при заданной максимальной циркуляции индуктивная скорость и угол скоса стремятся к нулю, как это и должно быть при переходе к крылу бесконечного размаха.

Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции "геометрические" углы атаки а по размаху не меняются, то будут сохраняться неизменными и "действительные" углы атаки Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют геометрически незакрученным или плоским; крыло с постоянным по размаху действительным углом атаки называют аэродинамически незакрученным.

Геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет и аэродинамически незакрученным.

Докажем теперь, что геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением циркуляции и одинаковыми по всему размаху аэродинамическими характеристиками сечений имеет эллиптическую форму в плане.

Для доказательства свяжем прежде всего коэффициент подъемной силы отдельного сечения с с соответствующим ему значением циркуляции По теореме Жуковского будем иметь для единицы длины крыла (b - хорда):

или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от направления нулевой подъемной силы,

где - действительный угол атаки, отличающийся от геометрического а на постоянный скос найдем искомую связь в виде:

Отсюда сразу следует, что при постоянной вдоль размаха аэродинамической характеристике и отсутствии геометрической закрученности закон изменения вдоль размаха хорды совпадает с законом изменения циркуляции т. е. также будет эллиптическим. Форма крыла в плане представится уравнением эллипса:

На первый взгляд можно подумать, что с изменением угла атаки или скорости набегающего потока максимальная хорда такого эллиптического в плане крыла должна изменяться. На самом деле, как это сразу следует, например, из равенства (81) § 42 гл. V, при малых а циркуляция определенная на основании постулата Чаплыгина, будет пропорциональна произведению

где некоторая константа, характеризующая форму крыловых профилей в сечениях исследуемого крыла, так что форма крыла в плане определится чисто геометрическим равенством:

Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и эллиптическую форму в плане, подобную кривой распределения циркуляции. Вот почему такое крыло называется эллиптическим.

Найдем еще связь между коэффициентами подъемной силы и индуктивного сопротивления эллиптического крыла. Имеем по (110) и (108):

или, вводя коэффициенты индуктивного сопротивления и подъемной силы:

и вспоминая определение удлинения I крыла (109):

Отсюда следует важная формула связи между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла:

показывающая, что индуктивное сопротивление эллиптического крыла быстро падает с убыванием коэффициента подъемной силы.

Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой другой формы в плане. Введем обозначение

где будет тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллиптическому.

Тогда, повторив те же выкладки, получим для крыла любой формы в плане:

При полете современного скоростного самолета на режиме максимальной скорости потребные для поддержания самолета в воздухе не велики При этом коэффициенты индуктивного сопротивления становятся малыми по сравнению с коэффициентами профильного сопротивления обусловленными сопротивлением трения и сопротивлением давления, возникающими из-за неидеальности воздуха (об этом будет сказано подробнее в заключительной главе).

Рис. 155.

Наоборот, при полете со сравнительно малыми скоростями основное значение приобретает индуктивное сопротивление. Приводим на рис. 155 для иллюстрации типичную кривую полного лобового сопротивления истребителя с выделением роли индуктивного сопротивления (заштрихованная полоска) при различных скоростях полета. 1 При полете со сравнительно большими значениями (например, транспортные самолеты с большой дальностью) выгодно увеличивать удлинение, границы выбора которого ставятся прочностью крыла и другими конструктивными соображениями.

Все эти вопросы, так же как и вопросы применения формулы (118) к конкретным крыльям, рассматриваются в специальных курсах теории крыла и аэродинамики самолета.

Обратимся теперь к рассмотрению обратной задачи теории крыла, а именно к задаче определения циркуляции, образующейся на крыле заданной формы в плане с заданными аэродинамическими характеристиками сечений.

Сохраним обозначения и для заданных наперед переменных вдоль размаха величин: хорды, геометрического угла атаки и производной коэффициента подъемной силы по углу атаки. Тогда для циркуляции получим по формулам (114) и (96):

Если в атом равенстве заменить индуктнвный угол согласно его выражению (101), то для определения неизвестной циркуляции найдем следующее основное ннтегро-дифференциальное уравнение:

В этом уравнении, подчеркнем еще раз, под геометрическим углом атаки так же как под "действительным" углом в предыдущем равенстве, подразумевается угол, отсчитанный от направления нулевой подъемной силы.

В настоящее время существует много приближенных методов интегрирования уравнения (120). Простейший из них, пригодный лишь для немеханизированных, мало отличающихся от эллиптических, крыльев, принадлежит Глаучрту и основан на непосредственном использовании тригонометрического разложения циркуляции (104). Подставляя это разложение в уравнение (120) пли, использовав выражение индуктивного угла (107), — в уравнение (119), будем иметь:

откуда погле простых приведений получим уравнение:

где величина представляет сокращенное обозначение известной функции угла

Ограничиваясь случаем симметричного распределения циркуляции по размаху крыла, сохраним в разложении (104) лишь члены с неизвестными коэффициентами Разобьем полуразмах крыла I четырьмя сечениями в точках:

с соответственными значениями угла в градусах:

напишем уравнение (121) для каждого сечения. Тогда будем иметь для определения четырех неизвестных коэффициентов следующую линейную алгебраическую систему четырех уравнений:

В этой системе уравнений и т. д. представляют значения известных функций в последовательных четырех сечениях крыла.

Для оценки распределения циркуляции по крыльям простейшей формы изложенный прием является достаточным. Довольствуясь этими краткими указаниями, отсылаем интересующихся к специальным курсам теории крыла

Изложение вопроса о влиянии сжимаемости газа при до- и сверхзвуковых скоростях на пространственное обтекание тел идеальным газом выходит за пределы настоящего курса. За последнее время такие основные в этой области проблемы, как осесимметричное и наклонное обтекание тел вращения (например, снаряда) и обтекание крыла конечного размаха, подробно исследованы многими учеными. Подробное освещение теории линеаризированных пространственных течений можно найти в монографии Ф. И. Франкля и Е. А. Карповича "Газодинамика тонких тел" в серии "Современные проблемы механики" (Гостехиздат, 1948 г.). Методы решения нелкнеаризированных пространственных задач изложены в "Теоретической гидромеханике" Кибеля. Кочина и Розе (ч. II, изд. 1948 г.).