§ 58. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Влияние угла поворота струи на ее газодинамические элементы

Рассмотрим задачу о повороте сверхзвукового потока вокруг острой кромки выпуклого угла О (рис. 121) на угол О. Как станет вскоре ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой звуковой окончательному состоянию потока после поворота на угол

соответствует однородное течение справа от прямой с безразмерной скоростью Поворот на конечный угол можно рассматривать как результат последовательных малых поворотов в области затем в области и т. д.; нелинеаризированная задача расчленяется, таким образом, на ряд линеаризированных. Отсюда сразу следует, что лучи являются "линиями возмущения" нелинеаризированной задачи, или характеристиками первого семейства. Вдоль каждой из этих прямых линий угол возмущения а, а следовательно, и числа будут принимать некоторые постоянные значения. В силу (86) постоянное значение будет сохранять и угол 6 между вектором скорости V и начальным направлением потока.

Рис. 121.

Определим газодинамические элементы потока после поворота его на угол

Согласно (86) и принятому условию при получим:

где задается одним из равенств (86) или

Разыскав по выбранному значению величину безразмерной скорости движения и используя обычные формулы изэнтропического потока, найдем также и

Значения эти приведены в табл. 9, рассчитанной для воздуха Об общем характере изменения величин можно судить по кривым рис. 122.

Огибая внешнюю часть выпуклого угла, поток, как это следует из приводимых кривых и табл. 9, расширяется, скорость его возрастает, давление и плотность уменьшаются. Явление в целом несколько напоминает расширение газа в сопле Лаваля, но, в отличие от принятого в гл. IV одномерного подхода, настоящая теория позволяет судить как о суммарном эффекте поворота потока, так и о деталях заключенного в угле плоского потока, переводящего однородный поток слева от линии возмущения в однородный поток справа от линии Чтобы исследовать это движение, введем в рассмотрение угол между некоторой промежуточной характеристикой и начальной характеристикой

Как легко заключить из рис. 121, угол будет связан с углами и простым соотношением:

Таблица 9 (см. скан)

По определению угла возмущения а имеем:

Используя это равенство, а также (87) и получим по (88):

Применяя известную теорему сложения арксинусов

легко убедиться, что сумма двух последних членов в равенстве (88) равна так что будем иметь:

Рассчитанные по этой формуле при значения углов отвечающие данным значениям или помещены в табл. 9.

Рис. 122.

Последнее из равенств (89) позволяет по заданному углу определить величину скорости движения газа; скорость эта, так же как и все остальные газодинамические элементы, не зависит от расстояния между взятой на характеристике точкой и вершиной угла О.

Каждый из углов может быть связан попарно с другим. Замечая, что первая из формул (89) на основании известного соотношения

переходит в формулу:

и сравнивая ее с выражением для угла

видим, что между существует соотношение

позволяющее определить угол а между скоростью и линией возмущения по заданному углу линии возмущения с перпендикуляром к направлению начального потока. По формуле (88) найдем связь между

Найдем, наконец, форму линий тока в области Для этого по (90) и по известной формуле для котангенса угла между касательной к кривой, заданной в полярных координатах, и радиусом-вектором составим дифференциальное уравнение

которое легко интегрируется и дает:

где Как видно из последнего равенства, все линии тока подобны между собою относительно центра О.

Таким образом, задача полностью разрешена. Обратим внимание на следующий интересный физический факт. Согласно (87) и чем больше угол полного поворота струи, тем больше безразмерная скорость в конце поворота ее. По формуле (89) максимальное значение X будет равно

Эюму максимальному значению к соответствует движение с максимальной скоростью в абсолютном вакууме:

(Максимальное значение угла поворота струи определится, согласно при этом так:

для воздуха получим:

Характеристика (линия возмущения), соответствующая максимально возможному углу отклонения струи, будет образовывать, согласно (89), с осью угол:

для воздуха

Заметим, наконец, что при угол возмущения у. равен нулю, линия возмущения совпадет с линией тока. Таково предельно возможное расширение потока при огибании угла.

Изложенное общее решение задачи об обтекании угла может быть использовано для начального потока с любыми значениями чисел или В этом случае следует начинать с характеристики (линии возмущения), соответствующей заданному начальному значению К или и подводить к ней однородный прямолинейный поток под соответствующим углом 9 или а. Точно так же и конец поворота струи определяется заданием или на выходе и построением выходного однородного прямолинейного потока со скоростью и углами, рассчитанными по изложенной теории или взятыми по табл. 9.

Поворот струи определяется тем противодавлением (разрежением), которое имеет место за поворотом. Чем больше разрежение за поворотом, тем на больший угол повернется струя. Явление происходит так же, как на выходе из сопла Лаваля: если давление в камере, куда происходит истечение, меньше расчетного на выходе из сопла, поток расширяется, огибая край сопла на тем больший угол, чем больше разрежение в камере. Посмотрим теперь, что будет происходить в противоположном случае — при повышении давления и сопровождающем его замедлении сверхзвукового потока.