§ 101. Приближенные формулы профильного сопротивления крыла и крылового профиля в решетке

Рассмотрим крыловой профиль (рис. 202) в безграничном плоском потоке жидкости (в общем случае сжимаемой) со скоростью на бесконечности равной и плотностью сравним опять два эквивалентных по распределению давлений потока: 1) действительный, сопровождающийся образованием на поверхности крылового профиля пограничного слоя (а затем следа), и 2) воображаемый безвихревой поток

идеальной жидкости, набегающий на "полутело" (на рис. 202 показанное пунктиром) и совпадающий с действительным вне пограничного слоя.

Возьмем какое-нибудь перпендикулярное к направлению скорости на бесконечности сечение аэродинамического следа за телом, проведем через крайние точки этого сечения соответствующие им линии тока во внешнем потоке и рассмотрим образованную таким образом трубку тока.

Обозначим через , сечение этой трубки тока, проведенное параллельно сечению вдалеке перед обтекаемым телом.

Рис. 202.

Тогда, применяя к отрезку трубки тока между сечениями и, и о, в действительном и воображаемом потоках теорему количеств движения в форме Эйлера в проекции на ось х, направленную по скорости набегающего потока, будем иметь:

1) для действительного потока:

2) для воображаемого потока:

В этих равенствах обозначает сопротивление крылового профиля в действительном движении, т. е. искомое профильное сопротивление, сопротивление давлений части боковой поверхности полутела, отсеченной плоскостью одинаковую для обоих потоков проекцию на ось х главного вектора сил давлений, приложенных (как показано на рис. 202 стрелками) к боковой поверхности выделенного объема трубки, — плотность и продольную скорость в потенциальном потоке в сечении толщину вытеснения в том же сечении.

Вычитая почленно друг из друга левые части составленных равенств, получим:

Заметим, что по определению толщины вытеснения В:

тогда из предыдущего равенства будет следовать

Устремим теперь сечение на бесконечность вниз По течению. Как было указано в конце § 64, сопротивление давлений изображенного на рис. 202 пунктиром бесконечного полутела со стремящейся к некоторому конечному пределу толщиной (последнее вытекает из физического определения величины 3 будет равно нулю; предельный переход в предыдущем равенстве дает при этом:

Введем обозначение:

где плотность и скорость потока на бесконечности. Обобщая ранее введенное для случая несжимаемой жидкости понятие о толщине потери импульса, сохраним этот термин и для выражения, представленного формулой (84).

Тогда, обозначая через хорду профиля, из равенства (83) найдем выражение коэффициента профильного сопротивления через толщину потери импульса на бесконечности:

Формула (85) имеет вспомогательное значение, как промежуточная формула, необходимая для дальнейших выводов. Дело в том, что непосредственное определение ни теоретически, ни экспериментально провести нельзя. Общепринятый сейчас приближенный прием расчета

профильного сопротивления основан на идее установления связи между величинами толщин потери импульса на бесконечности и на задней кромке исследуемого крылового профиля Желая обобщить эту идею на общий случай движения сжимаемого газа, установим сначала уравнение импульсов для области следа за крыловым профилем. Уравнения турбулентного движения сжимаемого газа в области следа за телом в осредненных скоростях и плотностях будут иметь тот же вид, что и уравнения пограничного слоя, частным случаем которого является след — напряжение турбулентного трения):

причем ось х направлена вдоль нулевой линии тока, сходящей с задней кромки крылового профиля, ось у — нормально к ней.

Подобно тому как это уже делалось ранее с уравнениями движения несжимаемой жидкости, перепишем предыдущую систему в виде (второе уравнение умножено на

вычтем почленно первое уравнение из второго и проинтегрируем обе части таким путем полученного равенства

поперек следа по у от нижней границы следа до верхней.

Вспомним, что след за телом представляет тот же пограничный слой, причем на внешних границах его или соответствующие значения равны между собою и, кроме того, Таким образом, получим после интегрирования:

или, используя вновь ранее принятые обозначения для толщины вытеснения и толщины потери импульса:

составим следующее выражение для уравнения импульсов:

Разделим обе части этого уравнения на и проинтегрируем его по х вдоль следа от сечения соответствующего задней кромке крылового профиля, до бесконечно удаленного от него сечения следа за крылом. Будем иметь:

Введем обозначение заменяя под знаком интеграла переменную вдоль следа величину ее средним значением, для чего положим, например,

найдем

Равенство (87) может быть, таким образом, приведено к виду

Подставляя полученное выражение в равенство (85), получим следующую общую формулу профильного сопротивления:

Формула (89) упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости, когда В этом случае, если обтекание не слишком толстого и слабо изогнутого крылового профиля происходит при малых углах атаки, когда продольный перепад давлений

невелик, можно, следуя приближенному методу § 98, положить определять, пользуясь простыми формулами (70) или (72).

Величина в случае движения несжимаемого газа постоянной плотности равна единице, в чем легко убедиться, полагая и в выражениях и пренебрегая в достаточном удалении от задней кромки крыла второй и старшими степенями малой добавки и.

Формула профильного сопротивления будет при этом иметь упрощенный вид

широко употребляемый на практике. Заметим, что значение скорости на задней кромке берется или из опытного распределения давлений по поверхности крыла или при помощи той экстраполяции теоретической кривой, о которой шла речь в конце предыдущего параграфа. Для определения производится расчет толщины потери импульса 8 отдельно по верхней и нижней поверхностям крылового профиля, а затем найденные значения на задней кромке складываются. Полученная таким образом величина и будет толщиной потери импульса в сечении следа на задней кромке крыла.

Сложнее обстоит дело с расчетом сопротивления при иеизотермическом движении сжимаемого газа. В этом случае необходимо дополнительно рассчитать тепловой пограничный слой на поверхности крыла, а также учитывать тепловые явления в следе.

Для избежания недоразумений отметим, что используемое нами определение толщины вытеснения в пограничном слое или следе

отличается от принятого другими авторами и более удобного с точки зрения применения преобразования Дородницына определения

на величину

зависящую от распределения температур в пограничном слое, вследствие чего величина входящая в формулу (89), в случае неизотермического движения не будет равна единице.

В изотермическом движении несжимаемой жидкости оба определения величины й совпадают, в случае же неизотермического движения сжимаемого газа необходимо делать соответствующий пересчет. Принимаемое нами определение (91) точно соответствует представлению о "толщине вытеснения", связанной с ранее доказанной теоремой об обратном влиянии пограничного слоя на внешний поток. Толщина потери импульса всеми авторами определяется одинаково.

Формула (90) лежит в основе практических расчетов профильного сопротивления крылоев и дает хорошее совпадение с опытными материалами. Были составлены специальные номограммы (сетки), по которым, задаваясь геометрическими параметрами крылового профиля и положением точки перехода, можно легко определить коэффициенты профильного сопротивления крыла при данном рейнольдсовом числе набегающего на него потока. Эти сетки, составленные сперва для случая обтекания профилей несжимаемой жидкостью были в дальнейшем обобщены и для различных значений чисел Соответствующие данные можно найти в специальных справочниках и курсах аэродинамического расчета.

Аналогично решается вопрос и о сопротивлении тела вращения при осесимметричном его обтекании.

Изложенный только что метод расчета профильного сопротивлении крыла можно обобщить на случай решеток профилей, обтекаемых несжимаемой жидкостью и сжимаемым газом.

Довольствуясь для простоты движением несжимаемой жидкости, рассмотрим обтекание плоской решетки профилей (рис. 203) с давлениями и скоростями на бесконечности: до решетки и решеткой. Обозначим плотность жидкости через вектор шага — через тогда, используя теорему количеств движения, будем в случае вязкой жидкости иметь, очевидно, ту же самую формулу (116) § 49 гл. V для определения главного вектора приложенных к профилю в решетке сил, что и в случае идеальной жидкости, а именно:

Разница здесь будет лишь в том, что, в силу наличия потерь энергии за счет работы диссипативных сил трения, полные напоры перед и за решеткой не будут равны между собою, а дадут разность;

называемую потерей напора. Таким образом, искомый главный вектор представится как сумма

или в принятых в § 49 гл. V обозначениях:

В первом слагаемом суммы узнаем силу Жуковского, которую обозначим через второе слагаемое можно было бы назвать силой сопротивления профиля в решетке Итак,

Поскольку все аэродинамические элементы до и после решетки заданы, определение силы действия потока на профиль в решетке сводится к вычислению силы сопротивления или потери напора связанного с силой сопротивления простым соотношением:

Рис. 203.

По сравнению с единичным крыловым профилем, задача о расчете профильного сопротивления решетки усложняется тем, что пограничные слои, сходящие с отдельных профилей в решетке, на некотором расстоянии вниз по потоку смыкаются (рис. 203), образуя в дальнейшем движение, не подчиняющееся уравнениям пограничного слоя. Обозначая это сечеиие индексом без значка и предполагая, что неоднородность поля скоростей в этом сечении следа за решеткой уже мала, легко показать, что потеря напора может быть выражена формулой:

где о — толщина потери импульса в рассматриваемом сечении следа, угол между вектором скорости и перпендикуляром к оси решетки. Используя, как и в случае единичного профиля, изложенный ранее прием перехода от сечения в следе к сечению на задней кромке профиля будем иметь следующие формулы для потери напора и силы сопротивления

В формулах (97) фигурирует скорость на бесконечности за решеткой V,, а не средняя векторная скорость обычно принятая в теории решеток. Замечая, что

где угол между и перпендикуляром к оси решетки, будем иметь:

и соответствующую формулу для силы сопротивления.

Рассматривая среднюю векторную скорость как некоторую условную "скорость на бесконечности", можно было бы принять за сопротивление составляющую силы на направление скорости на бесконечности:

и соответствующий ей коэффициент сопротивления писать в виде:

Формула (100) совершенно аналогична формуле (90) для изолированного крылового профиля; отличием является лишь множитель практически мало отличающийся от единицы.

Произведенные по формуле (100) расчеты сопротивлений профилей в турбинной решетке показали хорошее совпадение с непосредственно замеренными опытными величинами.

Некоторые трудности, возникающие при расчете компрессорных решеток, связаны с наличием в такого типа решетках отрывов пограничного слоя в области задней кромки и не позволяют применять только что изложенную теорию без необходимых видоизменений.

Определение действительных потерь в рабочих колесах и направляющих аппаратах турбомашин не может быть сведено к простому расчету по формулам (97) и (98), так как наряду с учитываемыми этими формулами потерями в плоской безграничной решетке существенное влияние оказывают еще: конечность высоты лопаток и толщина их задних кромок, наличие радиального зазора между лопатками и кожухом и аксиального зазора между рабочим колесом и направляющими аппаратами, а также центробежные эффекты на вращающемся колесе. Теоретическое изучение роли этих важнейших источников вредных сопротивлений и потерь в турбомашинах представляет основную задачу современной гидроаэродинамики турбомашин; можно ожидать, что теория пограничного слоя принесет большую пользу на пути решения этих задач.