ГЛАВА IV. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости. Линеаризированные уравнения. Скорость распространения малых возмущений в жидкости или газе

Если в потоке все динамические и термодинамические величины являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной координаты и времени, то такой поток называется одномерным. Простейшими примерами одномерных потоков могут служить: пространственный, параллельный некоторой оси координат поток, в котором скорость, давление, плотность и температура являются функциями только этой координаты и времени, пространственный радиальный поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температурой, представляющими функции только радиуса-вектора и др.

Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х, а единственная составляющая скорости и, так же как данление плотность и температура являются функциями при этом будем пренебрегать действием объемных сил.

Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных:

с тремя неизвестными функциями Чтобы сделать систему определенной, необходимо добавить уравнение связи между если движение барогропно, или уравнение Клапейрона и уравнение баланса энергии — в общем случае произвольного движения идеального, совершенного газа. Интегралы таким образом составленной системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным и граничным условиям.

Задача о разыскании решений нелинейной системы уравнений (1) даже для простейших баротропных процессов очень сложна.

Случай движения несжимаемой жидкости исследуется просто, но не представляет интереса, так как при уравнение неразрывности приводится к условию независимости скорости от координаты что соответствует квазитвердому поступательному движению жидкости вдоль оси х.

Начнем с решения следующей математически не сложной, но принципиально важной задачи: в находящемся в равновесии, покоящемся идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлений и плотности так, что возникающее при этом движение является одномерным, параллельным оси х баротропным движением, зависящим лишь от координаты х и времени требуется разыскать элементы возмущенного движении. Обозначим через скорость, давление и плотность возмущенного движения, через давление и плотность при равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действия объемных сил; тогда, вводя еще обозначения для малых возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь:

Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравнений (1) и откинем в них произведения малых величин и их производных по координатам, как малые высших порядков. Тогда, замечая, что в силу баротропности движения

получим вместо нелинейной системы (1) следующую линейную систему Двух уравнений с двумя неизвестными

Система (3) может быть названа линеаризированной по сравнению нелинейной системой (1), так как она получена из нее путем линеаризации, заключающейся в откидывании малых второго и высших порядков.

На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная система (1) стала определенной, хотя связь между явно не задана. Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений от невозмущенных, равновесных любая аналитическая связь между вполне определяется заданием равновесного значения производной от плотности газа по давлению или обратной величины Замечая, что величина всегда существенно положительна, введем обозначение

и перепишем систему (3) в форме:

В системе уравнений (5) переменные могут быть легко разделены. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5) по времени а второго по х, умножая после этого обе части второго уравнения на и вычитая его почленно из первого, получим:

Аналогично найдем уравнение для определения

а замечая, что

найдем и уравнение для

Одномерные волновые уравнения (6), (6) или являются классическими уравнениями математической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций:

вид которых зависит от начальных условий задачи.

Введем новые координаты и связанные со старыми при помощи равенств:

Новая ось координат движется поступательно в сторону положительного направления старой оси со скоростью точно так же ось движечся поступательно в сторону отрицательного направления оси с той же скоростью

Функция в подвижной системе представляет некоторое, не зависящее от времени распределение возмущений скорости, плотности или давления. Эта фиксированная форма одномерного возмущения (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового уравнения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной оси со скоростью Аналогично этому, функция характеризующая определенное, не зависящее от времени распределение возмущений в подвижной системе представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрицательную сторону неподвижной оси с той же скоростью

Общая для обеих форм скорость распространения одномерных малых возмущений в неподвижной сжимаемой среде определяется, согласно (4), формулой

С такой скоростью будет, например, распространяться вдоль цилиндрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим двигаться поршнем малое сжатие газа (малый перепад давления). Перемещаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться старое давление, как будто движение поршня не возникало.

С той же скоростью будут распространяться малые колебания давления в жидкости или газе, создающие звук, если считать явление распространения звука баротропным; величина заданная равенством (7), называется поэтому скоростью распространения звука или, короче, скоростью звука.

Согласно общему принципу классической механики, приведенное рассуждение остается верным и в случае жидкости или газа, равновесным состоянием которых является квазитвердое поступательное и равномерное движение. В галилеевой системе координат, связанной с этой квазитвердо движущейся средой, уравнения гидроаэродинамики сохраняют свой вид и все предыдущие выводы остаются справедливыми, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать

скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному пространству, в котором среда совершает свое движение.

Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому поступательному и равномерному движению, соответствуют одни и те же термодинамические характеристики то скорости распространения звука по отношению к газу в том и другом случае будут одинаковыми. Если же жидкость или газ движутся не квазитвердым образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные термодинамические состояния и разные скорости звука, которые в этом случае придется рассматривать, как некоторые местные скорости звука, представляющие функции координат и времени.

Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой волны в среде не следует смешивать со скоростью движения самой среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью порядка 330 м/сек), в то время как сам газ при этом остается почти неподвижным.

Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения скорости и в форме "волны", бегущей в положительном направлении оси

получим уравнение

где точкой над буквой обозначена производная по всему аргументу Интегрируя это уравнение по х, получим:

или в дифференциальной форме еще такое соотношение:

Из условия баротропности процесса распространения малых возмущений (звуковых колебаний) легко вывести соотношение

вместе с (8), приводящее к следующему выражению скорости и:

или в дифференциальной форме:

Из равенств (8) и можно заключить, что при данных значениях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости движения газа по отношению к неподвижной системе координат после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше относительное уплотнение газа

или относительное его сжатие

т. е. чем больше интенсивность возмущения.

Если звуковая волна несет с собой сжатие (уплотнение) газа, то следовательно, проходящая сквозь газ звуковая волна сжатия увлекает (с очень малой скоростью!) газ за собой, звуковая волна разрежения наоборот, дает дополнительную малую скорость направленную в сторону, противоположную распространению звуковой волны, т. е. звуковая волна разрежения вызывает встречное малое движение газа. Это явление легко себе представить, если вообразить поршень, имеющий возможность двигаться вдоль открытой в обе стороны длинной цилиндрической трубы, заполненной газом. Приведем поршень в слабое движение, например, слева направо. Газ сожмется справа от поршня, и вправо побежит звуковая волна, несколько уплотняющая газ. При этом образуется слабое движение газа вместе с поршнем слева направо. Наоборот, влево от поршня появится некоторое разрежение, которое будет распространяться со скоростью звука влево от поршня, увлекая газ за поршнем вправо.

Конечно, описанное только что явление, так же как и формулы (8), (8), (9) и (9), относится лишь к случаю распространения слабых возмущений в газе. Однако для дальнейшего не столько существенны изложенные факты или формулы, как сама тенденция возрастания абсолютной скорости потока газа при прохождении вниз по его течению звуковой волны сжатия или вверх по течению волны разрежения и, наоборот, убывания той же скорости при прохождении вверх по течению волны сжатия или вниз по течению волны разрежения.

Так, при колебаниях звучащего тела в воздухе образуются попеременно то сжатия, то разрежения, вследствие чего в пространство уходят как волны сжатия, так и разрежения. Распространяясь сквозь окружающий источник звука воздух, эти волны не только создают колебания плотности и давления в воздухе, но и приводят в состояние малых перемещений и сами частицы воздуха.

Обратим внимание на еще одну, представляющую интерес для дальнейшего тенденцию. Пусть после прохождения звуковой волны вместо

равновесных значений давления и плотности установились значения тогда изменится и скорость распространения звука, которая станет равной

Отсюда следует, что приращение скорости распространения звука в газе за счет прохождения сквозь него звуковой волны представляет малую величину того же порядка, что и относительное уплотнение газа в волне а именно:

Если предположить, что в рассматриваемом баротропном процессе, вместе с ранее сделанным естественным допущением выполняется еще неравенство (это имеет место, например, для изотермического и адиабатического процессов), то можно придти к существенному для дальнейшего выводу о наличии тенденции к возрастанию скорости распространения звука после уплотнения среды звуковой волной сжатия и, наоборот, убыванию скорости распространения звука после прохождения волны разрежения.