ГЛАВА III. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ

§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения движения

Наиболее простой схемой движущейся жидкости является так называемая идеальная жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются от наличия внутреннего трения — вязкости, считая что по площадкам соприкасания двух, друг относительно друга движущихся, объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления и полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадки касательные силы трения.

Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь

то же допущение отсутствия касательных напряжений на наклонной к координатным осям площадке дает

Отсюда, согласно системе равенств (10) гл. II, будем иметь:

Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойство идеальной жидкости — независимо от выбора осей координат касательные напряжения в любой точке движущейся идеальной жидкости равны нулю, нормальные — равны между собой, иными словами, нормальное напряжение в данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено.

Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной точке потока через Скалярную величину будем называть давлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равновесия, выделяется специально, чтобы подчеркнуть противоположность направления вектора нормального напряжения направлению орта нормали к положительной стороне площадки. Таким образом, напряжение,

приложенное к положительной стороне любым образом наклоненной элементарной площадки в идеальной жидкости, определяется формулой

Вспоминая предыдущую главу, видим что полученные только что формулы, верные лишь в случае движения идеальной жидкости или газа, совпадают с соответствующими формулами равновесия любой реальной сплошной среды.

Совокупность, равенств (3) эквивалентна тензорному равенству

которое также совпадает с аналогичным равенством (53) гл. II для находящейся в равновесии неидеальной сплошной среды.

При отсутствии касательных сил трения, два параллельно движущихся слоя идеальной жидкости могли бы иметь совершенно произвольные скорости, свободно скользить друг относительно друга. Этот факт находится в явном противоречии с принципом непрерывности поля скоростей, положенным ранее в основу кинематики и динамики жидкости и газа. Можно было бы ожидать при этом, что схема идеальной жидкости должна привести к результатам, далеким от реальности, бесполезным для практики. Однако это не так. Теория идеальной жидкости в большинстве случаев с достаточной для практики точностью описывает обтекание тел, оценивает распределение давлений по поверхности обтекаемых тел, дает суммарную силу давления потока на тело и мн. др. Причиной достаточного совпадения с опытом столь, на первый взгляд, отвлеченной, "идеализированной" схемы служит дополнительное допущение о сохранении и для идеальной жидкости принципа непрерывности распределения механических и термодинамических величин в движущейся среде. В этом фундаментальном принципе механики сплошной среды заложена главная качественная сторона физического механизма молекулярного обмена в жидкостях и газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей физических величин и, с другой, к наличию трения и теплопроводности.

Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от количественной стороны влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся в виде трения и теплопроводности, сохраняют в силе главную, качественную сторону явления — непрерывность распределения физических величин.

Принцип непрерывности движения среды приходится нарушать лишь в некоторых особых случаях: на границах двух идеальных жидкостей разной плотности (поверхности раздела), на поверхности твердого тела, обтекаемого идеальной жидкостью, а также на некоторых специальных поверхностях, где физические величины или их производные могут претерпевать разрывы непрерывности (поверхности разрыва). В первых двух из указанных случаев допускается свободное скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится условие

отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жидкости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости). Как далее будет показано, в наиболее важных для практики случаях эти нарушения основного принципа непрерывности обычно сосредоточиваются в тонких слоях (пограничный слой, граница струи, ударная волна или скачок уплотнения и др.), принимаемых за поверхность или, в случае плоского движения, за линию. Вне этих поверхностей или линий все величины считаются непрерывными, что позволяет применять обычные приемы составления и решения уравнений динамики идеальной жидкости или газа.

Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности элементов ни внутри движущегося потока, ни на границах его с твердым телом. В действительности жидкость или газ не могут скользить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой стенкой, равны нулю, жидкость, как бы "прилипает" к поверхности тела. Однако эта скорость резко возрастает при удалении от поверхности тела и на внешней границе весьма тонкого, по сравнению с размерами тела, пограничного слоя достигает значений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной жидкости. В этом вторая причина возможности применения схемы идеальной жидкости для расчета обтекания важных для практики тел плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса турбомашины и др.). В случае плохо обтекаемого тела пограничный слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину обтекания тела идеальной жидкостью.

Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости получаются путем упрощения согласно равенствам (1), (2), (3) или (4) общих уравнений движения, выведенных в гл. II.

Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений, сохранит ту же форму: (16), (17) или (17) гл. II при лагранжевом способе определения движения и (18), (21), (22) или (23) той же главы — при эйлеровом представлении движения.

Уравнения в напряжениях (28), (29) или (30) гл. II также упростятся и приведут к одному из следующих двух векторных уравнений:

или в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат:

Уравнения (5), (5) или (6) представляют различные формы уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости или газа.

Вектор стоящий в правой части (5) и равный

согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный к единице массы главный вектор сил давления или иначе силу объемного действия давлений в данной точке. Вектор дает, как обычно, отнесенную к единице массы собственно объемную силу.

Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лагранжееых переменных с (§ 8). Для этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение на его лагранжево выражение:

н перепишем уравнения так:

Будем предполагать, что так же как и рассматриваются как сложные функции с через Умножим обе части первого уравнения на второго на третьего на и сложим между собою. Тогда, вводя обозначения:

и замечая, что по формулам производной от сложной функции: др

получим, повторяя указанную операцию умножения уравнений Эйлера на с последующим сложением левых и правых частей уравнений, уравнения динамики идеальной жидкости в лагранжевой форме:

Рассматривая переменные Лагранжа как криволинейные координаты точки , можем придать величинам смысл приведенных к единице массы обобщенных объемных сил, величинам приведенных к единице массы обобщенных сил объемного действия давлений; выражения, стоящие в левых частях уравнений, представят, с этой точки зрения, проекции ускорения оси криволинейных координат с в точке , умноженные на соответствующие параметры Ляме и др. Поскольку в уравнениях (7) неизвестными являются функции:

то направления криволинейных осей наперед не известны, поэтому дальнейшие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике производят при составлении уравнений Лагранжа второго рода, не представляют интереса.

Отметим, что при наличии потенциала объемных сил , и функции давления уравнения (7) полезно еще преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам

и замечая, что:

будем иметь:

Выражение стоящее в скобках справа, представляет разность приведенных к единице массы кинетической энергии движущейся среды и суммы потенциальных энергий силовых полей объемного действия давления и внешних объемных Это выражение может быть названо приведенной к единице массы лагранжевой функцией или кинетическим потенциалом, а интеграл этой величины за некоторый интервал времени

— приведенным к единице массы действием.

Уравнения (7), после интегрирования их по времени в интервале могут быть приведены к виду:

Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших выводов, вид, указанный впервые казанским профессором И. С. Громека (1851—1889). Для вывода этого уравнения выделим в левой части уравнения Эйлера (5) из выражения конвективного ускорения потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую формулу векторного анализа

и положим в ней: тогда получим:

Пользуясь этим общим векторным соотношением, придадим уравнению Эйлера (5) форму уравнения Громека

Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда объемные силы имеют потенциал и движение баротропно, т. е.

существует функция давления

при выполнении этих условий будем иметь:

и уравнение Громека (8) перейдет в следующее:

Введем обозначения:

Величину равную сумме приведенных к единице массы кинетической энергии среды и потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давлений и собственно объемных сил, можно было бы назвать приведенной к единице массы полной механической энергией. Величину не следует смешивать с ранее введенной лагранжевой функцией

Уравнение (10) может быть представлено в более краткой форме так

или в проекциях на декартовы оси:

Уравнение (13) или его аналитическое представление (14) связывает чисто кинематические величины с динамическими характеристиками силовых нолей и . Переписывая это уравнение форме

видим, что при баротропном движении идеальной жидкости или газа, независимо от характера и физической сущности действующих

силовых полей объемных и поверхностных сил, левая, чисто кинематическая, часть этого равенства представляет потенциальный вектор. Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в баротропно движущейся идеальной жидкости под действием потенциального поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству

или, что все равно,

Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произведения по правилу векторного анализа:

и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно равный нулю, будем иметь

Вспоминая, наконец, определение индивидуальной производной по времени, получим

Уравнение это, составленное для частного случая несжимаемой жидкости еще Гельмгольцем, было указано известным советским механиком А. А. Фридманом и названо им уравнением динамической возможности движения. Итак, при принятых ограничениях оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие уравнению (15). Само собой разумеется, что поля скоростей, полученные в результате интегрирования уравнений движения, будут удовлетворять уравнению динамической возможности (15); важно, что, не решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать общее условие, связывающее кинематические элементы движения.

Другой важный физический смысл уравнений динамической возможности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой вихревых движений.

Полагая в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости равным нулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения равновесия, являющиеся, естественно, частным случаем уравнений движения; подчеркнем еще раз, что уравнения равновесия верны не только для идеальной, но и для любой реальной жидкости или газа.

В случае баротропного движения уравнения движения (13) или (14) не содержат явно плотности, так как плотность исключается при помощи

уравнения баротропного процесса. Этот факт не представляет специфического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в случае баротропного движения также могут быть переписаны в векторной форме:

или, в проекциях, в виде системы уравнений:

не зависящих явно от плотности.