§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа и мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения изменения кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального жидкого объема должна, как известно из теоретической механики, формулироваться так: "производная по времени от кинетической энергии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних (объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует

где представляет отнесенную к единице массы мощность внутренних сил давлений, равную отнесенной к единице массы секундной работе расширения элементарного объема в данной точке. Действительно, умножим обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно на и проинтегрируем по объему получим:

Вычтем почленно обе части последнего уравнения из уравнения (45), тогда найдем

Отсюда в силу произвольности выбранного объема следует:

или по уравнению неразрывности (18) гл. II:

— выражение, в котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы и времени работу расширения газа, входящую в уравнение первого начала термодинамики удельный объем):

Результат этот можно было ожидать заранее, так как уравнение (45) легко выводится как следствие уравнения сохранения энергии (16) и уравнения первого начала. Действительно, переписав

уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем несколько преобразованном виде:

и вычтя одно из другого, получим:

т. е., согласно (47), ни что иное, как уравнение (45).

Можно было бы и наоборот вывести уравнение баланса энергии (16) из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом смысл закон сохранения энергии представляет первое начало термодинамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение изменения кинетической энергии является простым следствием уравнений динамики газа.

В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении кинетической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В случае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде

откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и мощностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с переносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна нулю.

Применим эту теорему к объему элементарной трубки тока между двумя произвольными ортогональными сечениями Будем иметь, из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения:

В том случае, когда линии тока допускают проведение ортогональных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной

толщины:

где и два неплоских сечения трубки, ортогональные во всех своих точках линиям тока, ограниченный ими и боковой поверхностью трубки объем трубки тока. Заметим, что, в отличие от теоремы количеств движения и момента количеств движения, в формулах (49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений, приложенных к боковой поверхности трубки тока; это и естественно, так как сила давления на боковой поверхности направлена перпендикулярно к скорости частиц.

Формулы типа (49) и (50) практически могут применяться лишь в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом интеграл, представляющий секундную работу (мощность) расширения, обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложными для применения.