§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие газа. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых потоках

Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение идеального газа и предположим, что где-то вдоль трубки тока или струи газа происходит изэнтропическое (без скачка уплотнения или других причин для превращения механической энергии в тепловую) торможение газа, приводящее газ к покою. Установим простые формулы связи параметров изэнтропически заторможенного газа с текущими их значениями а в сечениях рассматриваемой трубки тока.

Возьмем основную формулу закона сохранения энергии

и определим константу из условия: при тогда получим:

или, замечая, что но (17) гл. III и по определению местной адиабатической скорости звука

найдем искомое выражение температуры изэнтропически заторможенного газа:

а следовательно, и соответствующую скорость звука

Из уравнения изэнтронической адиабаты и уравнения Клапейрона

сразу следует:

откуда, используя (66), найдем выражения остальных параметров изэнтропически заторможенного газа:

Формулы (66), (69) и (70) являются основными во всех расчетах одномерных течений газа.

Из формулы (70) следует, при значениях числа меньших единицы, имеет место разложение в ряд:

Отсюда можно сделать вывод, что, полагая в модели несжимаемой жидкости делают тем меньшую ошибку, чем меньше число в движущемся газе. Так, например, для того чтобы ошибка не превосходила число должно быть меньше 0,14, а это соответствует в случае воздуха при нормальных условиях верхней границе допустимых скоростей Следует заметить, что даже при скорости в ошибка не превосходит

Легко также видеть, что при малых значениях числа формула (69) "ерсходит в обычную формулу Бернулли (58) гл. III для несжимаемого

газа. Действительно, разлагая при малых правую часть (69) в ряд, получим:

или, замечая еще, что по определению числа и адиабатической скорости звука

получим

При будем иметь формулу (58) гл. III для несжимаемой жидкости:

Ошибка, которую при этом делают, принимая газ несжимаемым, имеет порядок т. е. в два раза меньше ошибки в изменении плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкости в случае воздуха, движущегося при нормальных условиях со скоростью сделаем ошибку порядка Как известно, в капельных жидкостях скорость звука больше, чем в газах. В воде, например, скорость звука достигает значения 1500 мсек, т. е. почти в 5 раз превышает скорость звука в воздухе. Таким образом, воду можно рассматривать как несжимаемую жидкость при скоростях, доходящих до такие скорости на практике еще не наблюдаются.

При переходе от сверхзвуковых скоростей к дозвуковым как было ранее показано, газ проходит через скачок уплотнения. В этом случае величины для заторможенного газа уже не могут вычисляться по указанным только что формулам (69), (70) и (66), так как процесс в целом не изэнтропичен; расчет приходится вести иначе.

Следуя принятым ранее обозначениям, будем считать, что газ до скачка имел параметры после скачка — соответствующие значения параметров изэнтропически заторможенного газа до и после скачка обозначим через

Как было показано в § 30:

следовательно, по (68):

С другой стороны, из первых двух равенств системы (59) легко вывести следующие соотношения:

Замечая, что по формуле Клапейрона

разделим почленно обе части равенств (72) и (73) друг на друга и получим:

Чтобы получить искомые отношения давлений и плотностей изэнтропически заторможенного газа за и перед скачком уплотнения, остается подставить выражения (72) и (74) в равенство (71); тогда будем иметь:

На рис. 43 представлен график этого соотношения для воздуха том же Графике показано сжатие воздуха в скачке разных Как видно из графика, чем больше число набегающего воздуха, тем меньшее давление можно получить за счет

изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньнге — в скачке уплотнения имеет место необратимое превращение механической энергии в тепловую, вследствие чего полная механическая энергия, в заторможенном газе сводящаяся к энергии давлений, становится меньше.

Из кривой следует также, что потери давления в скачке малой интенсивности, т. е. при числе близком к единице, весьма незначительны.

Рис. 43.

Легко исследовать поведение кривой на рис. 43 при малых значениях разности Преобразуем равенство (75) следующим образом:

Произведя разложение по стеиеням малой величины убедимся, что коэффициенты при обращаются в нуль, а разложение величины будет иметь вид:

Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности не приводят к заметной потере давлений, так как при близком к единице, совпадет с с точностью до очень малой величины

Так, для воздуха эта величина имеет порядок например, при превышении скорости звука на будет равна 0,0015.

Можно показать, что такова же величина приращения в скачке уплотнения энтропии, являющейся мерой превращения механической энергии в тепло (потерь механической энергии). С этой целью применим равенство (45) к параметрам изэнтропически заторможенного газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не должно повлиять на приращение энтропии в скачке; тогда получим:

но, по предыдущему, следовательно, по (75):

Отсюда следует важный общий вывод: скашси малой интенсивности приводят к ничтожным изменениям, энтропии, так что с достаточной степенью приближения околозвуковые явления можно рассматривать как изэнтропические.

Из равенства (74) легко найти также соотношение между числами до и за скачком уплотнения. Заметив, что связаны простыми соотношениями (66) с температурами изэнтропически заторможенного газа, причем, как было еще показано в § 30, получим:

откуда следует

Из последней формулы видно, как убывает число за скачком с возрастанием числа перед скачком. Чем больше интенсивность скачка, т. е. чем больше отношение сверхзвуковой скорости газа перед скачком к местной скорости звука, тем меньше отношение дозвуковой скорости за скачком к своей скорости звука. Но не следует думать, что дозвуковое значение числа за скачком будет беспредельно убывать с ростом интенсивности скачка Как показывает формула (77), при беспредельном росте величина остается больше величины

для воздуха равной 0,378.

Приводим табл. 6 значений и отношения давлений за и перед скачком в интервале наиболее употребительных значений чисел для воздуха.

Таблица 6 (см. скан)

Рассмотрим в качестве примера простейшую схему воздушно-реактивного двигателя без компрессора (рис. 44), установленного на самолете, который летит на высоте со сверхзвуковой скоростью скорость звука на высоте Обозначим давление воздуха на высоте через давление в камере горения будет значительно превышать давление так как в камере горения скорость сравнительно невелика. Пренебрегая этой скоростью, можем считать Для улучшения сгорания горючего и повышения к. п. д. двигателя важно иметь в камере горения, по возможности, более высокое давление. Подсчитаем это давление сначала в предположении изэнтропичности процесса входа внешнего воздуха внутрь

Будем иметь:

или для воздуха:

Нсли число полета равно то

Па высоте по таблице международной стандартной атмосферы находим следовательно,

т. е., несмотря на большую высоту и разреженность атмосферы, за счет скоростного папора набегающего воздуха в камере горения должно было бы наблюдаться сжатие воздуха и давление в

Рис. 44.

На самом деле торможение воздуха от сверхзвуковой скорости при по равной сек, или до почти нулевой скорости в камере горения вызовет появление скачка уплотнения, показанного на рис. 44 жирным пунктиром. Этот скачок всегда садится впереди тупоносого тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, и называется головной волной. Участок головной волны перед входом в ВРД можно рассматривать приближенно как плоский скачок уплотнения в одномерном течении и определять по заданному при помощи графика рис. 43. Давление в изэнтропически заторможенном газе определится опять по формуле

давление в камере горения при будет по графику равно:

на 25% меньше, чем то давление которое установилось бы при изэнтропическом (бесскачковом) торможении. При меньших

значениях числа (малых интенсивностях скачка) этот эффект был бы гораздо более слабым. Например, при что на высоте соответствует по скорости около по (75) разница между давлением изэнтропически заторможенного воздуха в камере горения и давлением воздуха, прошедшего сквозь скачок уплотнения малой интенсивности, не превзошла бы 1,5%.

Наоборот, при полете с большими значениями числа вредное влияние скачка уплотнения сильно увеличивается.

Рис. 45.

Как это следует из графика, при давление в камере сгорания будет равно 35% от давления, соответствующего изэнтропическому, при уже только 15%, при всего 5% и т. д.

Повышение давления за счет скоростного напора набегающей струи при сравнительно небольших числах полета оказывается недостаточным, и в современных ВРД для сжатия воздуха в камере горения используют дополнительный компрессор.

Для создания значительно повышенных давлений в бескомпрессорных реактивных двигателях при движениях самолета с большими числами необходимо решительно бороться с образующимся перед входом в двигатель скачком уплотнения. О мерах этой борьбы — замене плоского прямого скачка уплотнения, перпендикулярного направлению движения, системой наклонных, косых скачков, будет рассказано в гл. VI, посвященной плоскому движению сжимаемого газа.

Для измерения скоростей движения газа или движения тела по отношению к газу применяют особые измерительные трубки (их называют обычно скоростными трубками), основная идея работы которых заключается в следующем. Газ набегает на носик трубки, где имеется так называемое динамическое отверстие и обтекает боковую поверхность трубки, с расположенным на ней статическим отверстием (щелью) При надлежащей конструкции трубки — достаточном удалении ножки трубки от статического отверстия 5 и статического отверстия 5 от носика трубки D (обычно принятые размеры показаны на рис. 45 б) можно считать, что вблизи отверстия давление равно (рис. 45 а) давлению заторможенной жидкости или газа а вблизи статической щели — давлению проходящего мимо трубки газа. Последнее обстоятельство может вызвать недоумение, так как в реальной жидкости или газе существует трение, приводящее скорость частиц на стенке к нулю, т. е. также тормозящее газ. Однако это торможение совершенно иное, чем торможение набегающего потока в лобовой точке измерительной трубки. В конце курса при изложении теории вязкого движения жидкости к пограничном слое на поверхности обтекаемого тела будет показано, что при этом неизэнтропическом торможении давление в любой точке поверхности совпадает с давлением в жидкости или газе в сечении пограничного слоя, проведенном через эту точку. Таким образом, действительно, если щель располагается заподлицо к стенкам трубки достаточно аккуратно для того, чтобы жидкость проходила мимо щели, не подвергаясь подпору со стороны выступающих стенок этой щели, то давление в щели будет равно давлению в невозмущенной трубкой жидкости вдалеке от трубки.

Условимся в дальнейшем обозначать через давление, плотность, скорость звука и скорость набегающего на трубку потока.

Если жидкость или газ движутся со столь малыми скоростями, точнее говоря, с малыми значениями числа что можно их движение рассматривать как несжимаемое, то по теореме Бернулли для несжимаемой жидкости, выражаемой равенством (58) гл. III, можно написать

откуда сразу следует

или, опуская индекс так как скорость, плотность и давление в этом случае повсюду вдалеке от трубки одинаковы, и заменяя еще плотность на удельный вес будем окончательно иметь основную формулу теории скоростной трубки:

Измеряя разность давлений при помощи дифференциального манометра и зная удельный вес движущейся среды, можно найти и ее скорость. На самом деле, при неточностях изготовления отдельных измерительных трубок величины могут несколько отличаться от действительных своих значений; для учета этих поправок на практике в формулу (78) вводят некоторый дополнительный, близкий к единице коэффициент, который определяют тарировкой, сравнивая в воздушной струе аэродинамической трубы данную трубку с некоторой образцовой.

Предположим теперь, что газ движется с большими, но дозвуковыми скоростями В этом случае "головной волны" перед трубкой нет, и если нет скачков уплотнения на участке поверхности трубки (смысл этой оговорки станет далее понятным), то можно применять формулы изэнтропичеекого движения. Таким образом найдем:

Регистрируя микроманометром отдельно давление в динамическом и давление в статическом отверстии, определим число движущегося газа, а Зная температуру газа, найдем скорость звука а, в движущемся газе, а следовательно, и саму скорость Измерение температуры можно производить, например, термопарой или другим термометрическим элементом, помещенным в такое место скоростной трубки или специального измерителя, где скорость равна нулю и можно быть уверенным, что измеряется температура изэнтропически заторможенного газа Таким местом является точка в лобовой части обтекаемого тела (например точка на скоростной трубке), где поток разветвляется, — так называемая критическая точка потока. Замеряя непосредственно найдем по ранее выведенной формуле:

Определив по формуле (79) и непосредственным замером, получим по а следовательно, и скорость звука

и искомую скорость

Показание давления в динамическом отверстии можно считать надежным, что же касается работы статического отверстия, то относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших, но меньших единицы значениях числа на сферической поверхности

носика и за нею могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей. Последующее уменьшение скорости вызовет возникновение на поверхности трубки перед статическим отверстием 5 скачков уплотнения и местные искажения Давления Значение числа набегающего потока, при котором на поверхности обтекаемого тела (в данном случае измерительной трубки) возникают сверхзвуковые зоны, называют критическим числом и обозначают

Если число набегающего потока превосходит число то пользование статическим отверстием становится ненадежным и необходимо каким-нибудь независимым путем определять давление в движущемся газе, например, при движении газа по цилиндрической трубе измерять давление на стенке трубы в сечении, близком к носику скоростной трубки.

Рис. 46.

Применять статическое отверстие 5 при измерении скоростей в сверхзвуковом потоке также нельзя; и в этом случае давление за головной волной может не совпадать с показаниями микроманометра, соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящиеся на участок поверхности трубки искажают поле давлений в газе и, кроме того, как в дальнейшем будет объяснено, изменяют движение в пограничном слое, что, в свою очередь, оказывает влияние на характер обтекания лобовой части трубки и распределения в ней давления.

Используя показание динамического отверстия за скачком уплотнения (головной волной), показанным на рис. 45а пунктиром, и измеряя каким-нибудь другим путем найдем их отношение Это отношение в силу (75) и (79) связано с искомым числом набегающего потока формулой Релея:

На рис. 46 приводится график функциональной связи (81) между для воздуха

Определив величину по показанию динамического отверстия измерительной трубки, а например, при помощи отверстия в стенке канала, по которому движется газ, найдем отношение а по графику рис. 46 — и искомое значение