§ 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения. Случай эллипсоида вращения

Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (рис. 147 а) возьмем в меридиональных плоскостях эллиптическую систему координат связанную с соотношениями [вспомнить формулы § 40 гл. V]:

где величина с представляет расстояние фокусов семейства координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат. Положим:

тогда связь между координатами и будет иметь вид:

Определив производные:

найдем, согласно (46), коэффициенты Ляме:

После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей.

Рис. 147.

По (47) получим:

Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных в отдельности:

тогда в уравнении (54) переменные разделятся и из равенства

в силу независимости будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной, которую можно выбирать совершенно произвольно. Полагая эту постоянную равной где целое положительное число, получим для определения два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа:

Этим уравнениям удовлетворяют два класса независимых решений:

1) функции Лежандра 1-го рода, в частности полиномы Лежандра определяемые равенствами:

и реккурентным соотношением для вычисления последующих полиномов

2) функции Лежандра 2-го рода определяемые равенствами:

и, вообще,

При желании можно пользоваться реккурентным соотношением

совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов Лежандра.

Функция как полином степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же при этом стремится к нулю, но зато обращается в логарифмическую

бесконечность при случае внешнего обтекания тела координата может достигать бесконечных значений, а координата ограничена. Принимая во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т. е. полного обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, можно вне отрезка оси представить полный потенциал скоростей в виде суммы потенциалов скоростей возмущенного движения и однородного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности равной и направленной вдоль

здесь неопределенные коэффициенты, значение которых зависит от формы обтекаемого тела.

Для определения коэффициентов найдем прежде всего выражение функции тока

По общим формулам (35) § 63 и (53) будем иметь:

или, после подстановки разложения (55):

Переписывая второе равенство в виде

и полагая коэффициент подставим под знак суммы выражение для из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (54):

Тогда будем иметь:

Интегрируя по получим окончательное выражение для функции тока:

Уравнение "нулевой" поверхности тока будет:

Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.

Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость по формуле:

Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание эллипсоида вращения, меридиональное сечение которого имеет уравнением

Полагая в уравнении при получим:

Потенциал скоростей будет равен по (55):

Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно полуоси эллипсоида расположенные, соответственно, по осям Будем иметь, согласно (53), уравнение эллипса в виде:

откуда следует:

или, введя эксцентриситет

В этих обозначениях получим:

Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению эллиптических координат:

где сферические координаты. Производя разложения:

и заменяя на убедимся, что

т. е. к известному уже по § 64 выражению (43).

Проекции скорости на оси эллиптических координат будут:

Полагая здесь убедимся, что на поверхности эллипсоида это и естественно, так как координатные линии перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством:

Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом можно было бы исследовать и менее интересный с практической стороны случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меридионального сечения которого лежат не на оси а в меридиональных плоскостях. В только что цитированных курсах приводится также решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все оси различны.