§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе. Логарифмические формулы скоростей

В основу всего последующего положим рассмотрение осредненного турбулентного движения в плоской трубе (рис. 188). Принимая движение установившимся, будем считать единственную составляющую осредненной скорости и (черточку сверху в дальнейшем опускаем, так как неосредненные скорости больше встречаться не будут) функцией только поперечной координаты у.

Разобьем осредненный поток в области от стенки до оси трубы на параллельные оси слои ширины и рассмотрим каждый такой слой отдельно с его скоростями и по отношению к "дну" слоя верхняя половина потока симметрична нижней и может отдельно не рассматриваться.

Рис. 188.

Если пренебречь влиянием вязких членов, роль которых, как это указывалось в предыдущем параграфе, при удалении от стенки резко убывает, то можно попытаться подобрать величины так, чтобы кривые относительных скоростей в различных слоях были бы подобны между собой. Для этого составим очевидное разложение

и потребуем, чтобы в сходственных ючках слоев, т. е. при одинаковых для всех слоев значениях; отношения величины и также имели одно и то же значение. Отсюда вытекает требование, чтобы каждая из величин:

была одна и та же для всех слоев Это требование можно переписать в виде (опускаем индекс и обозначаем символом пропорциональность):

Не составит труда убедиться, что всему этому бесконечному ряду условий удовлетворяют как степенная, так и логарифмическая функции вида:

и при этом длина интервала I оказывается линейной функцией

Здесь некоторые константы. Динамическим следствием такого подобия будет служить, как было указано в конце § 78, одинаковость для всех слоев коэффициента сопротивления, определяемого как отношение напряжения трения (или перепада давления) к характерному скоростному напору:

По предыдущему отсюда следует

Подставляя в выражение напряжения трения (18) полученные степенные и логарифмические выражения (17), будем иметь:

Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимым распределением напряжения трения в плоской трубе. Для этого применим теорему количеств движения к объему жидкости, заключенному между двумя линиями тока, находящимися на расстояниях от нижней стенки трубы, и двумя сечениями трубы, расстояние между которыми будем иметь:

Деля это равенство почленно на частный его вид при т. е. для полного сечения трубы, когда (трение на стенке),

получим:

Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, что логарифмическим распределением скоростей (17) можно пользоваться приближенно в области значений у, значительно меньших но в то же время в некотором удалении от стенки, где влияние вязких членов пренебрежимо.

Примером движения, в котором условия подобия выполняются точно и действительно имеет место логарифмический профиль скоростей, может служить предельное движение жидкости вдоль одной из стенок трубы, когда вторая стенка удалена на бесконечность при фиксированном Легко убедиться, что в этом случае во всем потоке будет выполняться условие логарифмический профиль скоростей станет единственно возможным.

Что же касается степенного выражения (17), то оно, как будто, может дать совпадение (19) с (20) при приводит при этом к профилю скоростей с бесконечным наклоном на оси трубы. При малом величина будет слабой функцией у, что приближает степенной закон к закону

Итак, точное выполнение системы равенств (16) невозможно.

Если пренебречь влиянием производных от осредненной скорости порядка выше второго, то условия точного подобия (16) заменятся одним приближенным условием подобия относительных осредненных скоростей в слоях

где некоторая постоянная, а знак минус выбран из условия, чтобы при выпуклости профиля скоростей в сторону положительных величина была бы положительной. При этом формула напряжения трения (18), если константу включить в определение величины I, может быть переписана в виде:

Предлагаемая интерпретация длины I, как величины, выражающей приближенный закон дробления потока на слои с подобными распределениями относительных осредненных скоростей, оказывается совершенно достаточной для построения решения задачи о турбулентном движении жидкости в трубе и пограничном слое.

Формула (22) была предложена Прандтлем, 1 исходившим из представления о сходстве между явлением переноса количества движения при турбулентном перемешивании и при столкновении молекул в ламинарном движении. Величина I трактуется Прандтлем как турбулентный аналог "пути свободного пробега молекулы" и называется путем перемешивания.

На наш взгляд, нет необходимости придавать величине входящей в формулу (22), именно такое физическое истолкование. Формула, аналогичная формуле (21), была на основании неоправданно сложных теоретических построений выведена Карманом.

В связи с равенствами (20) и (21) формула (22) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения :

Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в правой части выбран в связи с тем, что

где обозначение

введено для величины, имеющей размерность скорости, но не являющейся вместе с тем скоростью какой-то конкретной точки; в силу своего чисто динамического определения через величины величина могла бы быть названа динамической скоростью. Уравнение (23) легко интегрируется и дает первый интеграл:

Для определения постоянной интегрирования С потребуем, чтобы при малых у, когда подобие становится выполнимым точно, величина определенная по формулам приближенного подобия (21), (23) и (24), совпала бы с формулой (17) точного подобия. Подставляя значения из (23) и (24) в (21), будем иметь:

и, согласно поставленному условию, при любых должно выполняться равенство:

Отсюда следует:

и по

Интегрирование этого уравнения приводит к распределению скоростей

На рис. 189 приводится сравнение теоретической кривой (26) при с экспериментальными точками, полученными Никурадзе в круглой цилиндрической трубе в широком диапазоне значений чисел Рейнольдса (от до ), построенных по средней скорости в трубе и ее диаметру

Рис. 180.

Как видно из графика, теория, относящаяся к плоской трубе, оказывается пригодной и для круглой грубы; некоторое отклонение экспериментальных точек вблизи стенки при сравнительно малых рейнольдсовых числах объясняется отмеченным уже ранее влиянием молекулярной нязкости, не учитываемым теорией.

Заметим, что более простое, чем (26), и очень близкое к нему выражение распределения скоростей можно получить, если, используя основное равенство (22), положить в нем приближенно

Тогда будем иметь:

или после интегрирования:

Полагая здесь:

и исключая С, получим:

Полученная формула практически совпадает с (26) и гак же хорошо согласуется с опытными материалами при значении

Рис. 190.

Применим формулы (26) и (27) для круглых цилиндрических труб, считая равным радиусу трубы а.

Определим среднюю скорость в трубе как

Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы (27), получим при :

Эта формула связи между максимальной (на оси трубы) и средней скоростью по сечению трубы хорошо подтверждается на опыте, как это видно из рис. 190. В отличие от ламинарного движения в круглой трубе, при котором (§ 79) итах в турбулентном движении это отношение уменьшается с ростом рейнольдсова числа от 1,3 при малых его значениях до 1,15 при сравнительно больших

Отсюда следует, что при турбулентном режиме профиль скоростей (рис. 191) располагается гораздо выше ламинарного или, как говорят, гораздо более "заполнен", чем при ламинарном, который является более "урезанным", причем заполнение увеличивается сростом рейнольдсова числа; на рис. 191 этот факт виден достаточно отчетливо.

Все формулы распределения скоростей, приведенные в настоящем параграфе, содержат величину связанную с неизвестным пока трением на стенке трубы. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо найти дополнительную связь между величинами и или Такая связь задается формулой сопротивления трубы турбулентному движению жидкости.

Рис. 191.