§ 52. Тонкое крыло в линеаризированном до- и сверхзвуковом потоках. Влияние сжимаемости газа на коэффициент подъемной силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной силы и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке

Линеаризированные уравнения движения сжимаемого газа могут быть использованы для приближенного исследования обтекания до- и сверхзвуковым потоком тонкого, мало изогнутого крыла при малых углах атаки.

Начнем с дозвукового обтекания. Обратим прежде всего внимание на следующее свойство уравнений (10) и (15): если в этих уравнениях от аргументов х и у перейти к новым переменным:

то уравнения (10) и (15) во вспомогательной плоскости примут вид:

ничем не отличающийся от соответствующих уравнений для потенциала скоростей и функции тока несжимаемой жидкости.

В результате преобразования (29) отрезки, параллельные оси останутся в плоскости неизменными, отрезки же, параллельные оси сократятся в - раз.

Такая "анаморфоза" физической плоскости во вспомогательную плоскость приведет к изменению граничных условий обтекания: во-первых, преобразованный профиль будет иметь измененную форму, так как все его ординаты в плоскости сократятся в раз, а абсциссы останутся неизменными; во-вторых, угол атаки набегающего потока на бесконечности в плоскости по той же причине уменьшится в раз.

Если с самого начала взять в плоскости вспомогательный тонкий крыловой профиль, у которого ординаты в раз больше, чем у исследуемого профиля, а угол атаки в то же число раз превосходит заданный угол атаки, то после проведения преобразования (29) задача об определении обтекания заданного профиля сжимаемым потоком сведется к задаче обтекания того же профиля с теми же условиями на бесконечности, но уже во вспомогательной плоскости т. е., согласно уравнениям (30), в некотором "фиктивном" несжимаемом потоке. Замечая, что при плоскости и совпадают, и обозначая индексами соответствующие величины в сравниваемых между собою сжимаемом и несжимаемом потоках, будем иметь:

Таким образом, согласно (14), (29) и (31), получим для сравниваемых обтеканий:

Вспоминая выражение (23) для коэффициента данления, составим выражения:

и, разделив первое на второе, согласно (32), получим основное в теории дозвукового линеаризированного потока соотношение

представляющее обобщение формулы (24) на случай любого слабо изогнутого тонкого крылового профиля.

Сделанный вывод об увеличении в отношении коэффициента давления при переходе от движения с числом к движению с данным значением можно также интерпретировать как увеличение коэффициента давления в несжимаемом газе за счет увеличения ординат верхней и нижней поверхностей обтекаемого тонкого крыла и, соответственно, угла атаки потока.

Предыдущее рассуждение было основано на предположении, что поток повсюду дозвуковой и что, кроме того, допустима его линеаризация, т. е. имеет место малость неличин и др. Не останавливаясь на количественной стороне вопроса, укажем, что чем ближе будут условия обтекания рассматриваемого профиля к условиям линеаризации потока, тем при больших поток будет повсюду дозвуковым — местное значение числа во всем потоке будет меньшим единицы

Условие малости и связанное с ним по (33) условие малости реж и не выполняются в критических точках на профиле, где:

Строго говоря, применение формулы (34) для всей поверхности профиля допустимо лишь при безударном входе на тонкую, мало искривленную дужку и плавном сходе потока с задней ее кромки.

Вспоминая, что подъемная сила представляется главным вектором сил давлений на поверхность профиля, заключим, что соотношение (34) сохраняет свою силу и для коэффициента подъемной силы, так что

Заметим, что последнее соотношение, как "суммарное" (по поверхности профиля), оказывается верным в более широком диапазоне чисел , чем "местное" соотношение (34).

Рис. 106.

На рис. 106 приведены для сравнении теоретическая кривая по формуле (35) и экспериментальные пунктирные кривые по опытам А. Ферри, проведенным над тонким мало изогнутым винтовым профилем при углах атаки 2° и 4°.

Как видно из рисунка, при сравнительно небольших значениях числа совпадение только что изложенной простейшей теории с опытом вполне удовлетворительно; при больших значениях числа намечаются принципиальные расхождения кривых.

Рис. 107.

Очень просто решается вопрос об определении обтекания тонкого крыла или дужки сверхзвуковым потоком если встать на путь применения линеаризированного уравнения (15). Рассмотрим, например, обтекание тонкого крылового профиля (рис. 107), образованного из двух кривых, имеющих уравнениями:

1) верхняя поверхность

2) нижняя поверхность

Замечая, что общее решение задачи об обтекании тонкого профиля сверхзвуковым потоком складывается из двух функций:

проведем через точки верхней поверхности характеристики первого семейства

а через точки нижней поверхности — характеристики второго семейства

Характеристики (линии возмущения) проведенные через переднюю кромку А, отделяют невозмущенный плоскопараллельный поток слева от крыла. Поток, расположенный за характеристиками проведенными через заднюю кромку В, также плоскопараллелен. Между этими крайними линиями возмущения находится поток, возмущенный поверхностью крыла, причем вдоль каждой из полос между двумя бесконечно близкими характеристиками поток одинаков с потоком в непосредственной близости к соответствующему элементу поверхности крыла.

Согласно второй из формул (27), будем иметь для верхней (в. п.) и нижней (н. п.) поверхностей (здесь штрих обозначает производную от по

причем отрицательный знак соответствует положительному знаку перед у в уравнении второго семейства характеристик.

Найдем коэффициенты сопротивления и подъемной силы с Имеем для элемента поверхности крыла следующее выражение проекций сил давления:

Суммируя для верхней и нижней поверхностей, получим:

Разность абсцисс точек обозначим через и примем за хорду, разность ординат положим равной величине — при этом отношение можно в выбранном приближении рассматривать как угол атаки а. Тогда, переходя к коэффициентам сопротивления равным:

получим окончательно

Из формул (37) можно сделать следующие два основных вывода: 1) в линеаризированной теории тонкого крыла коэффициент подъемной силы не зависит от формы крыла, а только от угла атаки и числа набегающего потока, 2) в отличие от дозвукового потока, тело, находящееся в сверхзвуковом потоке идеального газа, испытывает сопротивление; это сопротивление называют волновым.

Коэффициент волнового сопротивления по сравнению с коэффициентом подъемной силы представляет малую величину второго порядка. Так, например, если взять пластинку длины то

По первой из формул (37) получим:

Коэффициент волнового сопротивления пластинки пропорционален квадрату угла атаки.

Можно легко показать, что у крыла, имеющего вид чечевицы, состоящей из двух дуг круга одинакового радиуса, коэффициент волнового сопротивления будет равен максимальная толщина крыла, относительная его толщина):

т. е. сумме коэффициента сопротивления пластинки и добавочного слагаемого, зависящего от относительной толщины крыла. Как это следует из первой формулы (37), пластинка, по сравнению с другими тонкими профилями при том же угле атаки, имеет наименьший коэффициент волнового сопротивления.