§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, теоремы количеств движения и момента количеств движения при стационарном движении идеальной жидкости

Останавливаясь на случае стационарного движении жидкости, можем, пользуясь эйлеровым выражением конвективной производной (29), представить закон сохранения массы

в следующей интегральной форме:

имеющей простой физический смысл: в стационарном потоке полный массовый расход жидкости или газа через неподвижную замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя ни источников, ни стоков, равен нулю.

Применим этот закон для элементарной трубки тока с двумя какими-нибудь нормальными сечениями в которых скорости соответственно равны по величине а плотности; тогда, замечая, что на боковой поверхности трубки тока получим вместо (31) равенство

В этой форме закон сохранения массы можно проформулировагь так: при стационарном движении жидкости или газа секундный кассовый расход сквозь сечение элементарной трубки тока одинаков вдоль всей трубки.

Если плотность жидкости повсюду одинакова, т. е. жидкость несжимаема, то формула (32) переходит в более простую:

утверждающую сохранение объемного расхода вдоль элементарной трубки. В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки тока скорость возрастает и. наоборот, в расширяющихся сечениях — убывает. Столь простого соотношения между скоростью и площадью сечения при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется еще третий неременный фактор — плотность.

Формулы (32) и (32) легко обобщаются и на случай трубки любого поперечного размера. Назовем через два каких-нибудь, вообще говоря, неплоских поперечных сечения трубки; поверхности в общем случае не ортогональны к линиям тока, более того, ортогональных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось, может и не существовать. Производя суммирование обеих частей равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим:

т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении справедлив закон сохранения секундного массового расхода вдоль всей трубки. Обозначая этот секундный массовый расход сквозь любое ссчение трубки о через будем иметь:

Величину по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое ссчение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл. I, § 12), можно было бы назвать интенсивностью трубки тока.

Закон сохранения массы, не связанный, как видно из приведенных выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и в случае неидеальной жидкости.

Закон сохранения энергии в случае стационарного, адиабатического движения идеальной жидкости при отсутствии объемных сил, согласно равенству (18) и принятому эйлерову представлению, можно записать в интегральной форме так:

Применяя этот закон для элементарной трубки тока, так же как и в случае закона сохранения массы, получим:

или, учитывая равенство (32):

Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20).

Теорема об изменении количества движения жидкого объема уже применялась в предыдущей главе при выводе основного уравнения динамики жидкости; равенство (24) гл. II в случае стационарного движения идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении написано в форме

Последний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно трактовать, как перенос количества движения через поверхность , направленный внутрь объема Действительно, орт внешней нормали направлен наружу объема, так что, если в некоторой точке поверхности вектор скорости V направлен также наружу объема то элемент интеграла направлен внутрь объема; если же вектор V направлен внутрь объема, то и элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор V, т. е. опять внутрь объема.

Рис. 31.

Равенство (38) дает следующую формулировку теоремы об изменении количества движения: если в стационарном потоке идеальной жидкости выделить некоторый объем, то сумма главного вектора объемных сил, приложенных к выделенному объему, главного вектора сил давления, приложенных к его поверхности, и переноса количества движения через эту поверхность, направленного внутрь объема, равна нулю.

Применим равенство (38) к объему элементарной трубки тока между двумя ее ортогональными сечениями (рис. 31): 1) где скорость равна , плотность давление орт внешней нормали где, соответственно, скорость равна плотность давление и орт внешней нормали Тогда, выделяя из общего поверхностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности трубки и замечая, что перенос количества движения сквозь боковую поверхность трубки равен нулю, получим:

или, произведя замену:

найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравнения количеств движения для элементарной трубки тока при стационарном движении идеальной жидкости (газа):

Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей, ортогональных к линиям тока, просуммируем равенства (41) по всем элементарным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины; получим уравнение количеств движения для любой трубки конечной ширины:

где два ортогональных к линиям тока сечения трубки.

Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо, так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение (главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет жидкость, и др.).

Элементарные приложения формулы (42) к вычислению реакции струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в курсах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения этой формулы будут часто встречаться на протяжении следующих глав.

Принимая во внимание сделанное в конце § 22 примечание о возможности применения эйлерова представления конвективной производной в том случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины, можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм законов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.

Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при стационарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента количеств движения:

и для элементарной трубки тока:

где векторы и представляют векторы-радиусы центров тяжестей нормальных сечений трубки тока.