§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое движение

Представим себе пластинку длины (рис. 166), продольно обтекаемую безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости плотности со скоростью

Рис. 106.

При этом внешний потенциальный поток можно рассматривать как однородный с безразмерной скоростью давлением Система уравнений (65) сводится к слечующей:

а граничные условия будут:

Решение такой задачи представляет непреодолимые трудности в силу наличия необходимости удовлетворения условий по оси Задача эта

была упрощена Блязиусом, предложившим рассматривать обтекание бесконечно длинной пластины — луча и затем уже применять полученное решение к отрезку т. е. удовлетворять приближенным граничным условиям:

При таком подходе к задаче исчезает характерная длина I, между тем, эта величина входит в определение масштаба поперечных длин и поперечных скоростей

Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функции и должны зависеть не просто от безразмерных координат а от такой их комбинации, чтобы при возвращении к размерным координатам выпадала величина Такой комбинацией будет:

Действительно, переходя при этом к размерным величинам, получим:

так что длина в решениях выпадет. Конечно, в заключительном этапе, при подсчетах сопротивления трения для пластинки длины эта длина вновь появится и займет свое место в числе Рейнольдса.

Чтобы свести две неизвестные функции или к одной, воспользуемся вторым уравнением системы (68) и введем безразмерную функцию тока положив:

Тогда, вводя новый аргумент будем иметь:

причем предположено, что при Используя для краткости обозначение:

найдем такое выражение для

Вычисляя (штрих означает производную по

и подставляя эти выражения в первое уравнение системы (68), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка

которое надо решить при очевидных граничных условиях:

Уравнение (71) и граничные условия (71), благодаря использованию безразмерных величин, приведены к чисто численному виду, не

содержащему никаких параметров (плотность, вязкость, скорость, размер). Решение задачи может быть закончено численным интегрированием уравнения с той или другой точностью. Приводим табл. 14 значений безразмерной скорости к функции от с точностью до четырех знаков.

Таблица 14 (см. скан)

Пользуясь этим табличным решением задачи, найдем прежде всего напряжение трения на поверхности пластинки, равное в размерных величинах:

Определяя приближенно по таблице

будем иметь распределение трения по поверхности пластинки

Эта формула (ход изменения показан на рис. 166) дает очень хорошее совпадение с опытными данными, исключая области, непосредственно близкие к носику и хвостику пластинки, где по (72) имеем:

на самом же деле и при и при из соображений непрерывности и симметрии потока должно быть равно нулю.

Суммируя напряжение трения по обеим сторонам пластинки вдоль всей ее длины, получим полную силу сопротивления трения смоченная поверхность, коэффициент сопротивления трения):

и выражение коэффициента сопротивления трения:

Экспериментальное определение сопротивления пластинки, пограничный слой которой полностью ламинарен, представляет большие трудности, связанные с невозможностью создания достаточно тонкой пластинки с острыми носиком и хвостиком, необходимостью измерения малой силы, малых скоростей и др, Наиболее точные экспериментальные значения коэффициента сопротивления пластинки оказываются близкими к теоретическому

Рис. 167.

Рассмотрим еще безразмерное распределение скоростей по сечениям пограничного слоя. Согласно формуле,

или в размерных координатах и скоростях

можно дать одну кривую распределения скорости во всех сечениях слоя. Такая теоретическая кривая проведена на рис. 167 сплошной линией. На том же рисунке приводятся экспериментальные точки, которые хорошо совпадают с теоретической кривой в различных сечениях пограничного слоя . Некоторое заметное отклонение при объясняется близостью этого сечения к носику, который представлял

на самом деле клин с постепенным переходом на параллельные стенки. Как далее увидим, в таком потоке профиль скоростей в сечении пограничного слоя должен иметь больший уклон, чем на пластинке.

Уже ранее упоминалось, что понятие "толщины" пограничного слоя весьма условно.

Если под толщиной пограничного слоя понимать такое размерное расстояние от стенки, где продольная размерная скорость и лишь, например, на один процент отличается от скорости внешнего потока , то по табл. 14 найдем приблизительно

а если повышать точность совпадения , то толщина будет соответственно увеличиваться. Так, если потребовать, чтобы отклонение не превышало 0,2%, то коэффициент 5,0 в предыдущей формуле заменится на 5,8 и т. д. В настоящее время избегают пользоваться этим приближенным понятием (ход возрастания 3 вдоль пластинки показан на рис. 166), вводя для характеристики "толщины" слоя некоторые интегральные определения.

Так, общеприняты: "толщина вытеснения" 5, равная

и "толщина потери импульса"

Формулы этих величин для общего случая обтекания любого цилиндрического тела и физический их смысл, объясняющий происхождение наименований, дадим несколько далее, а сейчас лишь укажем, что такое интегральное определение, хотя и не имеет той наглядности, как представление о толщине слоя но зато слабо зависит от неточности учета совпадения при больших у. Так, из формулы

видно, что выраженная в безразмерных величинах правая часть представляет заштрихованную на рис. 167 площадь, заключенную между кривой скоростей, "осью ординат" и прямой величина этой площади (1,72) мало зависит от ошибки, которая будет сделана, если интегрирование производить до конечной абсциссы, равной, например,

пяти, а не шести, семи и т. д. Аналогичное замечание можно сделать и относительно величины .

Интересно отметить, что в рассматриваемом случае продольного обтекания пластинки кривые изменения условных толщин пограничного слоя вдоль пластинки представляют собою изотахи потока. В самом деле, при:

будем иметь:

Отсюда не следует делать вывода, что и при обтекании любого тела граница пограничного слоя совпадает с изотахой; этим свойством обладает лишь пограничный слой на пластинке.

Если поток изотермичен, то решение задачи о продольном обтекании пластинки с ламинарным пограничным слоем заканчивается проведенным только что определением скоростей напряжения трения и коэффициента сопротивления. Если же поток не изотермичен, как это будет, например, иметь место при искусственном поддержании на поверхности пластинки размерной температуры отличной от температуры набегающего потока в этом случае представляет интерес разыскание также распределения температур в потоке и количества тепла, снимаемого потоком с пластинки или, наоборот, отдаваемого потоком пластинке.

Введем вместо размерной температуры безразмерную температуру 0, равную

и будем опять вместо задачи о пластинке решать задачу об обтекании плоскости, уходящей на бесконечность вниз по потоку и нагретой до постоянной температуры Предположим, что перепад температур настолько мал, что можно пренебречь влиянием температуры на плотность и вязкость жидкости.

Положим в третьем уравнении системы

и заменим по предыдущему на их выражения через функцию

тогда после простых приведений будем иметь линейное относительно уравнение

решение которого по заданному не представляет труда.

Имея в виду граничные условия:

легко получим:

Это выражение можно еще упростить, если заметить, что по (71):

а следовательно,

Окончательно будем иметь:

Особенно простой результат получается, если жидкость такова, что приближенно можно положить тогда квадратуры берутся легко и из равенства (74) следует:

или в размерных величинах:

Таким образом, если число

близко к единице, что в некотором приближении имеет место, например, для многоатомных газов, то распределение температуры в неизотермическом 1 (граничном слое вблизи пластинки с постоянной вдоль ее поверхности температурой подобно распределению продольных скоростей.

В случае жидкостей, как- было указано в начале настоящей главы, число а во много десятков, а иногда сотен раз превышает единицу. В этом случае приходится вычислять непосредственно по формуле (74). На рис. 168 показаны кривые для нескольких значений чисел .

Рис. 168.

Вычислим количество теплоты отдаваемое в единицу времени одной стороной поверхности пластинки, если для определенности Будем иметь но формуле Фурье:

причем предполагается, что, в силу плоского характера потока, расчет ведется на единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости движении. Введем в рассмотрение безразмерное число Нуссельта равное

где величина а определяет коэффициент теплоотдачи, равный секундному количеству тепла, отдаваемому единицей площади пластинки и отнесенному к единице температурного напора:

Будем иметь:

или в принятых безразмерных величинах:

Здесь функция , равная

может быть, как показал Польгаузен, приближенно представлена формулой

о степени приближения можно судить по цифрам табл. 15.

Таблица 15 (см. скан)

Таким образом, вместо (75) можно пользоваться простой приближенной формулой:

Зная число коэффициент теплопроводности X и температурный напор легко определим и отнесенное к единице ширины пластинки поперек потока количество теплоты отдаваемое в единицу времени потоку одиой стороной пластинки:

Исследование ламинарного аэродинамического и теплового следа непосредственно за пластинкой представляет большие математические трудности. Сравнительно просто решается вопрос о движении жидкости вдалеке вниз по потоку От задней кромки пластинки.