§ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом законе связи между вязкостью и температурой и при числе ... Обтекание крылового профиля потоком больших скоростей

Откажемся теперь от ограничения и рассмотрим систему уравнений (113) в предположении что довольно близко к значению для воздуха. О влиянии отклонений а от единицы можно в известной степени суднть по результатам предыдущего параграфа при и различных .

Исключим при системы (113) величину у, для чего умножим первое равенство на V, второе — на и вычтем одно из другого. Получим:

или, вычисляя производные и проводя сокращения:

Возвращаясь к скорости перепишем последнее равенство в виде:

и произведем в нем замену:

тогда получим:

Отсюда вытекает равенство:

интегрирование которого приводит к важному соотношению:

Постоянные интегрирования легко определяются из условий:

так что будем иметь:

или, переходя к размерным температурам и скоростям:

Последнему равенству можно придать простой и наглядный смысл. Обозначим значком сверху ту температуру, которую газ получил бы, будучи каким-то адиабатическим и илэнтропическим процессом переведен из данной точки потока к покою.

Тогда для любой точки пограничного слоя получим:

и, следовательно, на внешней границе слоя и на поверхности пластинки будет:

Переписывая (127) в форме:

получим равенство:

служащее обобщением известного уже нам по § 85 соотношения подобия (74) на случай движения сжимаемого газа при больших скоростях. Согласно (128), можно утверждать, что в любом сечении слоя, при и произвольном показателе степени в законе зависимости вязкости от температуры, поле перепадов температур газа, адиабатически и изэнтропически пересчитанных на покоящийся газ, подобно полю скоростей.

Разыскание профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а вместе с тем по профиля температур, представляет значительные трудности, так как приводит к необходимости для каждого значения численно интегрировать нелинейное уравнение второго порядка. Для составления этого уравнения возьмем первое уравнение системы (113), один раз его продифференцируем по и из таким образом полученной системы:

исключим величии) для этого умножим первое этих уравнений на второе на и вычтем одно из другого. Получим:

Имея в виду, что представляет по (127) известную функцию и что перепишем последнее уравнение в форме:

и введем новую неизвестную функцию

и новое независимое переменное и. Тогда будем иметь искомое нелинейное дифференциальное уравнение

в котором предполагается замененным, согласно (127). Из первого уравнения системы (113) при следует граничное условие

так как При и уравнение (130) имеет особую точку. Исследуем поведение интегральных кривых вблизи особой точки. Для этого положим в правой части будем иметь, согласно (127), уравнение

которое приводится к квадратуре следующим путем (а — постоянная интегрирования):

Полагая здесь:

найдем:

где принято обычное обозначение

Задаваясь различными а, подбираем такое его значение, чтобы интегральная кривая, выйдя из точки и вдоль кривой (131) и численно затем рассчитанная до , дала т. е. удовлетворила граничному условию (130). Определив таким образом как функцию от и, сможем по (129) найти и а следовательно, и трение.

Так же как и в предыдущем параграфе, получим:

откуда, согласно (129), будет следовать:

здесь в свою очередь зависит от температурного фактора и числа

На рис. 176 приводим рассчитанный полный коэффициент сопротивления пластинки в функции от числа при отсутствии теплоотдачи и при различных значениях числа Влияние числа на коэффициент сопротивления при малых невелико и возрастает с ростом Как показывают расчеты, влияние на распределение скоростей невелико даже при больших

Рис. 176.

Можно сделать общий вывод: при отсутствии теплоотдачи и не слишком больших значениях Мот влияние сжимаемости воздуха на характеристики пластинки сравнительно мало. Иное наблюдается при сильном охлаждении пластинки. Как было показано еще в предыдущем параграфе, при этих условиях изменение числа значительно сказывается на полях скоростей и температур.

Влияние сжимаемости на движение газа в пограничном слое становится существенным даже при числах меньших единицы, при обтекании телесного крылового профиля. В этом случае влияние сжимаемости проявляется главным образом за счет изменения распределения скоростей во внешнем потоке, о котором говорилось еще в гл. VI.

При отсутствии теплоотдачи с поверхности крылового профиля и числе расчет ламинарного пограничного слоя не представляет труда и проводится методом, служащим простым обобщением изложенного в § 88. Параметр определенный формулой

в которой производная и о вычислены в переменных. Дородницына с и

а теплосодержание адиабатически и изэнтропически заторможенного потока, может быть выражен через известную функцию приближенным соотношением (в обычном аргументе )

где те же самые константы, что и в § 88, а имеет значение

для воздуха близкое к числу 2,5. В зависимости от выбора чисел следует выбирать и отрывное значение

На рис. 177 приведен вспомогательный график, позволяющий по заданному распределению коэффициента давлений в несжимаемом обтеканни сразу определять величину при докритических значениях числа

Рис. 177.

График составлен на основании изложенного в гл. VI приближения теории Христиановича.

Как было еще показано в гл. VI, возрастание числа в дозвуковой области вывывает увеличение разрежений и вместе с тем углов наклона кривой за точкой минимума давления, т. е. увеличение по абсолютной величине производной Как можно заметить по структуре формулы (133), это приведет к ускорению возрастания следовательно, к перемещению точки отрыва в сторону точки минимума давления. Можно поэтому думать, что сжимаемость газа при дозвуковых скоростях предваряет отрыв, ухудшая обтекание крылового профиля. Расчеты подтверждают такое мнение. В дальнейшем будет указано экспериментальное подтверждение того же факта.

Удовольствуемся этими краткими сведениями о ламинарном пограничном слое в сжимаемом газе. Применение к сжимаемому газу приближенных методов теории ламинарного пограничного слоя (см. § 87) произодилось многими авторами. Для пластинки первое исследование в этом направлении было проведено Ф. И. Франклем. При отсутствии теплоотдачи и числе теми же приближенными приемами для крылового профиля пользовался А. А. Дородницын в ранее цитированной работе. При более общих предположениях (наличие теплоотдачи) тот же вопрос был исследован Л. Е. Калихманом.