§ 102. Основные закономерности «свободной турбулентности». Плоская турбулентная струя в пространстве, заполненном той же жидкостью

Своеобразным аналогом пограничного слоя служат движения жидкости в струях, в следе за телом и, вообще, движения вблизи границы раздела двух потоков, имеющих различные скорости. Так же как и пограничный слой, эти области характеризуются сосредоточенным действием внутреннего трения — ламинарного или турбулентного, в зависимости от того, какова общая структура потока. Вместе с тем обращает на себя внимание и некоторое отличие задач этого рода от задач пограничного слоя, заключающееся в отсутствии влияния твердой стенки, непроницаемой для жидкости и тормозящей ее движение силами вязкости. Такого рода движения, происходящие в значительном удалении от поверхности твердых тел, называют свободными.

Для ламинарных движений своеобразие "свободных" движений сводится лишь к отсутствию характерного для твердой стенки граничного условия равенства нулю скорости жидкости на обтекаемой поверхности. В случае же турбулентного движения, как сейчас будет показано, специфическая форма эпюры скоростей позволяет упростить основную закономерность трения.

Рассматриваемые в настоящем и следующем параграфах случаи турбулентной струи и турбулентного следа за телом являются иллюстрациями общих методов теории свободной турбулентности. В задачи этой теории входит, наряду с перечисленными выше, изучение турбулентных движений в свободной атмосфере, воздушных и морских течений, различных вентиляционных потоков и др.

Механизм "свободных" турбулентных движений полностью сводится к чисто турбулентному перемешиванию; влияние обычной "молекулярной" вязкости при этом совершенно пренебрежимо, так что рассматриваемые ниже движения оказываются независимыми от рейнольдсова числа, в каком бы прямом или косвенном виде оно ни составлялось.

Установим прежде всего формулу для касательной составляющей турбулентного трения Для этой цели используем вновь ту же гипотезу приближенного подобия осредненных движений в отдельных слоях, что и при движении в трубе (§ 94). Распределение осредненных скоростей в нормальных по направлению к потоку сечениях для всех рассматриваемых случаев подходит под общий тип, показанный на рис. 204. В сечении скорость непрерывно переходит от некоторого значения для нижнего однородного потока к значению в верхнем однородном потоке. Так, в струе, распространяющейся сквозь затопляющую безграничное пространство неподвижную жидкость, скорость на внешней границе струи равна нулю, скорость представляет максимальную скорость на оси струи (в этом случае роль "однородного" потока в точке играет элементарная струйка на оси симметрии струи). В случае аэродинамического следа вдалеке за телом скорость соответствует минимальной скорости на оси следа, образовавшегося благодаря тормозящему влиянию тела, а скорости невозмущенного внешнего потока, набегающего на тело.

Рис. 204.

Производная на краях интервала обращается в нуль как при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда точки соответствуют максимуму или минимуму скорости. При этом эпюра скоростей должна иметь в рассматриваемом интервале точку перегиба, где 0, и применение формулы (21) § 94 для длины I становится невозможным. Возникшую трудность легко обойти, если заметить, что в этом случае эпюра скоростей близка прямой линии повсюду за исключением областей, прилежащих к краям интервала. Такой характер эпюры скоростей позволяет считать осредненные движения в отдельных слоях подобными при любом закон: дробления потока на слои толщины в частности, на слои одинаковой толщины, так что I не будет зависеть от у. Формула касательного напряжения турбулентного трения при этом сохранит ранее указанный вид (22) § 94:

с той лишь разницей, что символ полной производной заменен на символ частной производной, так как, аналогично случаю пограничного

слоя, вдоль струи (при изменении абсциссы поле скоростей деформируется. Пользуясь близостью эпюры скоростей к прямой линии, можем в выражении (101) коэффициента турбулентного обмена А произвести приближенную замену

и положить

где ширина области турбулентного перемешивания. Возникающая при этом на краях области ошибка несущественна, так как в выражении турбулентного трения (101) величина А умножается на обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом, коэффициент, турбулентного обмена в задачах свободной турбулентности может бить принят постоянным по сечению, т. е. не зависящим от у (но, вообще говоря, зависящим от х, т. е. переменным вдоль течения). Принимая постоянную по сечению толщину слоев I пропорциональной размеру области обмена окончательно получим следующую общую для большинства задач теории "свободной турбулентности" формулу коэффициента турбулентного обмена:

где некоторый одинаковый для всех рассматриваемых движений постоянный коэффициент пропорциональности; величины меняются в общем случае от сечения к сечению и представляют неизвестные функции координаты х, отсчнтываемой вдоль по течению.

Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в свободной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного движения жидкости в аэродинамическом и тепловом следе та же гипотеза была отчетливо сформулирована еще в 1938 г. Б. Я. Трубчиковым, принявшим А за постоянную величину, не зависящую ни от ни от у. Как далее будет показано, такое допущение действительно верно для турбулентного следа, но непригодно, например, для струи. Формула, аналогичная (104), была предложена в 1942 г. Л. Прандглем, исходившим из соображений, отличных от использованной нами гипотезы подобия. Первые применения новой формулы Прандтля были выполнены Гертлером.

Остановимся на некоторых простейших применениях формулы (104). Рассмотрим прежде всего пример плоской турбулентной струи, бьющей из бесконечно тонкой щели в безграничное пространство, затопленное той же неподвижной жидкостью. Для дальнейшего существенно, что источник плоской струи представляется бесконечно тонкой щелью. Такая схематизация упрощает решение, так как, благодаря отсутствию характерной длины (ширины щели) в граничных условиях, задача, аналогично тому, как это имело место в теории ламинарного слоя (§ 85), может быть сведена к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения, взамен сложной системы уравнений в частных производных, к которой сводится общая постановка задачи.

Рис. 205.

Рассматривая область струи, где продольная осредненная скорость и(х, у) не равна нулю, как "пограничный слой" (на рис. 205 граница этой области в обычном для теории пограничного слоя смысле показана пунктиром), будем считать давление постоянным вдоль сэчений струи, а так как давление в затопленном пространстве вне гтруи повсюду одинаково, то и одинаковым во всей области течения.

Уравнения движения примут вид, аналогичный (44) § 97, а именно:

или, согласно (104):

Задача представляется вначале неопределенной, поскольку наперед неизвестны законы изменения ширины струи и максимальной скорости на оси струи Эта неопределенность исчезает, если выражение продольной скорости искать в форме семейства подобных между собою кривых

где под понимается некоторая условная (в том же смысле, как "толщина" пограничного слоя) ширина струи, а новый аргумент. Пользуясь выражением (106), вычисляем (штрих означает дифференцирование по

Подставим эти выражения в первое уравнение (105), тогда после простых приведений получим:

Введем в рассмотрение функцию положив

Функция связана простым соотношением с функцией тока Действительно, по определению функции тока, если принять

Будем иметь:

так что уравнение (107) может быть переписано в виде

Замечая, что, в силу одинаковости давления во всей области течения, проекция на ось вектора количества движения, протекающего сквозь любое сечение струи, должна быть одна и та же, получим

где представляет заданное количество движения струи при выходе ее из щели, или интенсивность струи. Подставляя сюда значение и из формулы (106), найдем:

или

Дифференцируя обе части этого равенства по х, получим:

в силу чего уравнение (109) перепишется окончательно в виде:

Из условия независимости аргументов следует, что

где с — некоторая не зависящая от граничных условий константа, характеризующая турбулентный характер струи. Как показывает последнее равенство, "ширина" струи возрастает пропорционально расстоянию от источника, а границами струи служат прямолинейные лучи, выходящие из источника (на рис. 205 они показаны пунктиром).

Из равенства (110) можно найти закон убывания максимальной скорости на оси при удалении от источника струи:

Найдя закон (112) изменения ширины струи и (113) — осевой скорости можем определить и закон изменения коэффициента турбулентного трения А. Имеем по (104) и только что указанным равенствам:

Коэффициент турбулентного обмена, не изменяясь по сечению струи, возрастает пропорционально корню квадратному из расстояния сечения до источника струи.

Основное дифференциальное уравнение (111) приводится к виду:

и легко может быть непосредственно два раза проинтегрировано. Действительно, имеем:

и, следовательно,

Постоянные интегрирования найдем из очевидных граничных условий:

выражающих: что ось струи принята за нулевую линию тока, что в силу симметрии производная обращается на оси в нуль и что вдоль оси Уравнение (115) при этом переходит в легко интегрируемое уравнение

которое, при принятых граничных условиях (116), имеет решение:

Отсюда получаем

или, переходя к гиперболическим функциям,

Отсюда находим продольную составляющую скорости и:

и поперечную составляющую

Чтобы сравнить теоретические формулы с опытными материалами, обозначим через У такое значение при котором и тогда из равенства

будет следовать:

При этом равенство (118) может быть переписано в виде:

На рис. 206 соответствующая кривая показана пунктиром. Совпадение этой теоретической кривой с опытными точками вполне удовлетворительное. При таком сравнении неизвестные константы входят в определение величины У.

Пользуясь формулой (118), можно вычислить массовый расход жидкости через любое сечение струи, расположенное на расстоянии х от источника струи. Имеем

откуда по (110) и (112) следует, что

т. е. что расход жидкости сквозь сечение струи растет при удалении сечения от источника струи; при Причина этого явления отчетливо видна из общей картины течения, показанной на рис. 205. Струя целиком состоит из жидкости, подсасываемой из затопленного пространства. Чем дальше сечение отстоит от источника струи, тем большее количество жидкости увлекается ею.

Рис. 206.

Парадоксальный на первый взгляд факт равенства нулю расхода жидкости через бесконечно тонкую щель при конечном количестве движения легко понять, рассматривая движение жидкости в струе как предельное при уменьшении ширины щели. Сравнивая (121) или (122) с (104), видим, что расход изменяется по тому же закону, как и коэффициент турбулентного обмена А.

Рассмотренное явление увлечения струей окружающей жидкости лежит в основе работы разнообразных водяных, воздушных и паровых насосов, называемых инжекторами и эжекторами. Во всех аппаратах такого рода струя со значительным количеством движения, но малым расходом, создает значительные расходы жидкости, что и делает насос полезным.

Для расчета плоской струи необходимо задать какие-то характерные для струи параметры. Это могут быть: сохраняющееся вдоль всей струи ее количество движения расход или осевая скорость в некотором фиксированном сечении струи и др.

Заметим, что рассмотренное решение, как это следует из ранее приведенных рассуждений, содержит произвольную постоянную с, существенно зависящую от турбулентности струи и являющуюся экспериментальной константой данной струи. От этой константы зависит угол расширения струи, который будет тем больше, чем интенсивнее турбулентность в струе.

Изложенный метод решения задачи не единственный. Можно было бы воспользоваться и непосредственно формулой (22) § 94, не опираясь на приближенное постоянство коэффициента турбулентного обмена. Такое решение задачи о плоской турбулентной струе оказывается более сложным, так как приводит к дифференциальному уравнению, требующему численного интегрирования. Результат такого решения, выполненного в свое время Толлмином, приведен в виде сплошной кривой на том же рис. 206. Можно заметить, что изложенное ранее решение (пунктирная кривая) ближе к экспериментальным данным в средней части струи, чем кривая Толлмина; по краям струи, наоборот, кривая Толлмина оказывается более близкой к опытам.

Мы не излагали решения задачи о ламинарной струе, так как это движение не представляет практического интереса. Решение задачи о ламинарной струе имеет много общего с только что изложенным решением задачи о турбулентной струе, так как и в том и в другом случае предполагается, что коэффициент внутреннего трения (молекулярной или турбулентной вязкости) постоянен по сечению струи. Однако не следует забывать, что в ламинарной струе коэффициент вязкости постоянен во всей области течения, а не только по сечению струи. Кроме того, наличие влияния вязкости изменяет вид основного аргумента и форму границы струи. Подробное изложение задачи о ламинарной струе можно найти на стр. 124—134 нашей монографии "Аэродинамика пограничного слоя".

Не имея возможности останавливаться на изложении других задач о струях (осесимметричная струя, пограничный слой на границе двух движущихся жидкостей и др.), заметим, что все они могут быть разрешены теми же приближенными методами, что и задача о плоской струе.

Чрезвычайно важному вопросу об обобщении теории струй на случай практически используемых в технике как изотермических, так

и неизотермических струй, с учетом влияния сжимаемости газа, а также конечности диаметров сопла, из которого происходит истечение, и других обстоятельств, были посвящены заслуженно пользующиеся широкой популярностью исследования Г. Н. Абрамовича. Сводку этих исследований можно найти в специальной его монографии.