§ 73. Основные формулы теории «несущей линии». «Индуктивная скорость» и «индуктивный угол». Прямая задача определения подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному распределению циркуляции

Перейдем к определению величины "индуктивной скорости" в плоском сечении потока, отстоящем на расстоянии от основной координатной плоскости (рис. 149). Найдем сначала элементарную скорость, индуцированную в точке О "свободным вихрем" — бесконечным вихревым лучом, выходящим из точки Для этого следует вспомнить формулу (30) § 62 скорости, индуцированной вихревым отрезком, и положить в ней:

Принимая во внимание направление элементарной индуцированной скорости по оси вниз, будем иметь при

Полную "индуктивную скорость" в точке О от всей системы "свободных вихрей" получим, если просуммируем элементарные индуктивные скорости по переменной С по всему отрезку несущей линии от точки до точки Будем иметь следующее выражение индуктивной скорости:

Интеграл, стоящий справа, является, очевидно, несобственным, так как подинтегральная функция обращается в бесконечность при поскольку эта бесконечность имеет порядок первой степени, возникает сомнение в существовании интеграла (99). Чтобы рассеять это сомнение, уточним вопрос о применимости формулы (98) и об интегрировании в формуле (99).

Как известно, формулу (98) для скорости, индуцируемой вихрем, нельзя применять в той особой точке безвихревого потока, где расположен сам вихрь; в этой точке с координатой скорость

обращается в бесконечность. Формула (98) определяет скорости безвихревого потока лишь вокруг данного "изолированного вихря", т. е. при Сообразно с этим и интеграл (99) следует понимать в специальном смысле и вычислять особым образом, исключая при интегрировании точку Разобьем для этого интеграл (99) на два интеграла, взятые соответственно по интервалам и I, не заключающим внутри себя точку которая остается в интервале расположенном между принятыми интервалами интегрирования. Значение интеграла (99), определенное как предел:

следуя Коши, называют главной частью интеграла

Предел (100) существует и представляет определенную функцию если, например, функция удовлетворяет в промежутке — так называемому условию Липшица:

где и а — некоторые постоянные и, кроме того,

Если, например, то

В дальнейшем, встречаясь с "несобственными" интегралами типа (99), будем помнить, что такого рода интегралы должны вычисляться в смысле их "главного значения" по формуле (100).

Если непрерывная, один раз дифференцируемая функция задана вдоль всего размаха крыла, то, вычисляя главное значение интеграла (99), определим для всех плоских сечений индуктивную скорость а затем и "углы скоса" Предполагая "углы скоса малыми, будем иметь:

Составим теперь формулы, позволяющие по заданному уравнению распределения циркуляции найти подъемную силу и индуктивное сопротивление. Согласно (97), имеем для элемента длины крыла конечного размаха:

где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под понимать проекции индуктивного сопротивления и подъемной силы всего крыла.

Заменяя величину V на так как по (101) с точностью до вторых степеней

получим следующие выражения элементарных сил:

Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка несущей линии получим формулы индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла:

Подставляя в первую из этих формул значение согласно равенству (99), получим формулу:

явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение циркуляции

Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (103) зададимся распределением циркуляции в виде тригонометрического ряда:

где угол связан с переменной по размаху координатой z равенством:

Если распределение циркуляции симметрично относительно начала координат то должно быть

а следовательно:

Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения циркуляции на концах "несущей линии" равны нулю.

Вычислим по (104) производнуюполагая параллельно с будем иметь:

Подставляя это выражение в формулу (99), получим выражение индуктивной скорости:

Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего "главного значения" и равен

так что окончательно получим следующее выражение индуктивной скорости:

а по (101) — и угла скоса:

Определим подъемную силу. Имеем по второй из формул (102)

Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг:

следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое окончательное выражение для подъемной силы:

Замечательно, что величина подъемной силы зависит только от первого коэффициента А, в разложении циркуляции (104); напомним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным степеням комплексной переменной (§ 44 гл. V).

Имея выражение подъемной силы (108), легко найти коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха определяемый отношением:

где S - площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108), получим:

где величина X, представляющая отношение площади квадрата, построенного на размахе крыла, к площади крыла в плане

называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла удлинение имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде:

Индуктивное сопротивление найдем, подставляя величину циркуляции (104) и индуктивной скорости (106) в первое из равенств (102). Будем иметь:

Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса

получим: