§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа с притоком тепла

Явление истечения газа в среду с заданным противодавлением протекает несколько иначе, если сопло имеет как начальную суживающуюся (конфузорную), так и выходную расширяющуюся (диффузорную) части. В этом случае, при достаточно малом противодавлении, в сечении, отграничивающем конфузорную часть от диффузорной. скорость газа достигнет своего критического значения, равного местной скорости звука, и при дальнейшем расширении газа в диффузорной части сопла образуется сверхзвуковой поток. Такого рода сопла называют соплами Лаваля.

Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла задан верхней кривой а на рис. 49, соответствующее изменение числа кривых того же рисунка и, наконец, кривые давления, отнесенного к критическому его значению, — в нижней части графика в.

Кривые хода построены по ранее выведенным формулам и изэнтропического течения.

Из хода кривых на рис. 49 можно сделать основные качественные выводы о явлениях, происходящих в сопле Лаваля. Если в наиболее узком сечении сопла число достигло значения то дальнейшее развитие потока может идти по кривым как так и т. е. поток может или стать сверхзвуковым или остаться

дозвуковым. Эта альтернатива разрешается заданием противодавления на выходе из сопла. Рассчитав величину по первой из формул (91) и сверхзвуковой ветви (рис. 47) основного соотношения (90), найдем такое "расчетное" противодавление при осуществлении которого на выходе из сопла поток преобразуется внутри сопла в сверхзвуковой и достигает на выходе требуемого числа если же взять противодавление равным соответствующим при той же площади выходного сечения А дозвуковой ветви (рис. 47), то поток останется дозвуковым и число на выходе будет меньшим единицы.

Рис. 49.

Замечательно, что существует только одно, определенное для каждого сопла, противодавление которое может привести к сверхзвуковому потоку в выходном сечении сопла. Это — специфическое свойство сверхзвукового потока; в самом деле, как видно из рис. 49 в, при имеется бесчисленное множество дозвуковых течений газа в сопле данной формы, в то время как сверхзвуковое (изэнтропическое!) движение является единственным и соответствует противодавлению

Естественно возникает вопрос, что же будет с газом, если на выходе из сопла создать противодавление лежащее между расчетными значениями На этот вопрос может быть один лишь ответ: движение газа не будет изэнтропическим. Как показано на графике рис. 49 в пунктиром, в этом случае в расширяющейся части сопла появится скачок уплотнения или система скачков, что приведет к неизэнтропическому процессу. Если, наконец, взять то в выходном сечении трубы давление примет свое расчетное значение и уже затем сложным неизэнтропическим путем (система скачков уплотнения, нарушающая одномерность потока) снизится до выходного противодавления

Секундный массовый расход через сопло Лаваля, так же как и в случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего максимального значения, равного тому расходу, который пройдет сквозь сопло, если в наиболее узком его сечении, на границе между конфузорной и диффузорной частями, будет достигнута местная скорость звука. Но в отличие от конфузорного сопла скорость на выходе из сопла Лаваля превосходит соответствующую выходу скорость звука и может быть подбором длины сопла сделана тем больше, чем меньше противодавление. Можно условно рассчитать такое "идеальное" сопло Лаваля, что оно будет работать на расчетном режиме т. е. в полный вакуум. Найдем выходную скорость такого истечения. Согласно формуле Сен-Венана и Ванцеля (67) гл. III, скорость истечения возрастает с уменьшением давления, и при скорость истечения примет свое максимальное значение

зависящее лишь от начальных параметров газа в котле, из которого происходит истечение. Вспоминая определения адиабатической скорости звука в неподвижном газе и критической скорости, получим вместо (97) следующие равенства:

Из которых следует, что максимально возможная скорость истечения, так же как и критическая скорость, зависят только от природы газа и его температуры в котле, т. е. температуры изэнтропически заторможенного газа.

Для воздуха при

При рассматриваемом "расчетном" истечении в вакуум давление, плотность и температура в выходном сечении равны нулю, равна нулю 1 скорость звука в этом сечении, так что

Все изложенное, конечно, верно лишь для идеального газа, лишенного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности процесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.

Во-первых, даже и для идеального газа, лишенного внутреннего трения, движение в сопле не одномерно, а представляет на самом деле сложное до- и сверхзвуковое пространственное течение.

Во-вторых, при наличии трения частицы газа, движущиеся около стенок сопла, имеют меньшие скорости, чем частицы, удаленные от стенок; образующийся вблизи стенок сопла пограничный слой утолщается вниз по потоку, а иногда даже отрывается от стенок, искажая тем самым всю картину потока и делая невозможным применение гидравлической схемы одномерного потока; возникающие в потоке скачки уплотнения нызываюг появление отрывов пограничного слоя и, наоборот, пограничный слой стимулирует зарождение скачков уплотнения. Это взаимное влияние вязкости и сжимаемости газа также искажает изэнтропичность и превращает расчетный режим в нерасчетный.

И, наконец, в-третьих, существенной причиной нарушения адиабатичности потока является теплопередача через стенки сопла, что также сильно усложняет расчеты. Вот почему даже в настоящее время, когда многие из только что перечисленных обстоятельств хорошо изучены, все же практически после расчета вновь спроектированного сопла приходится его дополнительно исследовать на опытной установке в лаборатории. Рассчитанное сопло может не дать желательного увеличения числа на выходе, кроме того, за счет неизэнтропичности движения газа возникают дополнительные потери механической энергии, коэффициент полезного действия при этом падает, что для непрерывно действующих установок большой мощности, конечно, недопустимо.

Оставляя пока в стороне вопросы, связанные с внутренним трением в газе и образованием пограничного слоя на стенках сопла (об этом будет еще идти речь в заключительных главах), остановимся вкратце на оценке влияния внешнего подогрева или охлаждения потока в соплс.

Рассмотрим опять одномерный стационарный поток идеального газа, адиабатичность которого нарушается тем, что на некотором весьма коротком участке к газу подводится извне тепло. Это вызывает изменение температуры газа или температуры изэнгропически заторможенного газа до участка подогрева на величину соответственно, причем за участком подогрева вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами и

Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на участке подогрева, определим изменение числа на этом участке, после чего уже нетрудно будет найти по обычным изэнтропическим формулам и изменения всех остальных величин.

Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если написать, что приток тепла не мог нарушить баланса массы и количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева остаются в силе следующие два равенства:

Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости звука с температурой, давлением и плотностью газа, а также определение числа будем иметь:

Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь числа с обычной температурой или температурой изэнтропически заторможенного газа

Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева, тогда будем иметь:

Зная отношения:

и число до прохождения участка подогрева, по формулам (102) найдем а уже затем по второй из формул (100) — и отношение Давлений

а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, зная число и температуру легко найдем и скорость газа за участком подогрева.

Введем в рассмотрение функцию

входящую во вторую расчетную формулу (102). Вычислив производную

видим, что функция имеет максимум при и этот максимум равен

На рис. 50 приведен график функции для воздуха Как видно из графика, подогрев газа при вызывает возрастание числа а при наоборот, убывание числа Следовательно, приток тепла к дозвуковому потоку ускоряет его, отвод тепла — замедляет. В случае сверхзвукового потока, наоборот, приток тепла замедляет поток, отвод — ускоряет. Так, например, при увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию числа до значения При той же начальной температуре и числе подогрев на 7% приведет к уменьшению числа до при этом давление увеличится более чем на 50%.

Рис. 50.

Одномерное течение газа в связи с многочисленными его приложениями к расчету реактивных двигателей и других газовых аппаратов представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма обширна и разнообразна.