§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. «Конус возмущений» при сверхзвуковом движении источника возмущения. Число M и его связь с углом конуса возмущений

Скорость звука, согласно формуле (9), зависит от характера баротропности процесса.

Если предположить, что жидкость несжимаема, т. е. то по Это означает, что в модели несжимаемой жидкости, с которой в дальнейшем придется неоднократно иметь дело, возмущения давления должны были бы распространяться с бесконечной скоростью, т. е. всякое изменение в данном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев, такое отличающееся от действительности предположение может с достаточным для практики приближением приниматься для расчетов, в других, как далее будет показано, от него приходится отказываться и пользоваться

схемами с конечной скоростью распространения малых возмущений или, что все равно, с конечной скоростью распространения звука.

Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспоминая, что при изотермическом процессе (опускаем значок "нуль")

получим скорость звука, соответствующую изотермическому процессу, или, короче, изотермическую скорость звука

Если предположить, что процесс распространения звука происходит без отвода тепла, т. е. адиабатически, то будем иметь:

следовательно, адиабатическая скорость звука равна

Формула (10) была впервые выведена Ньютоном, а формула (11) — Лапласом. Многочисленные эксперименты подтвердили правильность формулы Лапласа (11). Физически это означает, что слабое сжатие газа звуковой волной происходит очень быстро и образовавшееся при этом тепло не успевает перейти в соседние части газа, что и приводит к адиабатичности процесса распространения звука. В настоящее время пользуются именно этой адиабатической скоростью звука, в дальнейшем для краткости называемой просто скоростью звука.

Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (11) в виде:

отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном газе зависит лишь от абсолютной температуры и физических свойств газа. Замечая, что газовая постоянная может быть выражена через молекулярный вес газа и ускорение силы тяжести по формуле

получим

Для воздуха следовательно, скорость распространения звука в воздухе равна

в частности, при скорость звука достигает величины Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой над уровнем моря. Применяя "стандартную атмосферу", получим табл. 4 "стандартных" скоростей звука, в зависимости от высоты над уровнем моря.

Таблица 4 (см. скан)

Для газов с высоким молекулярным весом скорость звука сравнительно с воздухом принимает весьма малые значения.

Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного, параллельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного радиального распространения круговых в плоскости или сферических в пространстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения несколько усложняются, но так же легко решаются. Существенно, что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость распространения их будет определяться той же формулой (9), что и в случае распространения плоской звуковой волны.

Предположим, что в неподвижной сжимаемой среде движется прямолинейно и равномерно со скоростью и некоторый точечный источник малых возмущений (в частности источник звука) А. Примем прямолинейную траекторию движения источника звука за ось х, выберем на начало координат О (рис. 33 а, и б) и будем считать, что точка А вышла из начала координат в момент времени Пусть в некоторый момент времени точка А займет положение определим в этот момент границы области газа, возмущенного движущимся источником, вышедшим из точки О при

Если источник возмущений движется со скоростью и, меньшей скорости а распространения звука в данном газе при заданных термодинамических его характеристиках, или, короче, с дозвуковой скоростью, то сферическая звуковая волна, вышедшая из начала координат вместе с источником возмущений А, обгонит его и к моменту

областью возмущенного газа будет являться, очевидно, вся внутренняя часть сферы радиуса

Рассмотрим теперь случай сверхзвукового движения источника возмущений При движении со сверхзвуковой скоростью точка А сразу же обгонит образованную ею звуковую волну (рис. 33 б), вышедшую в начальный момент времени из точки О, и будет непрерывно играть роль центра образования новых сферических волн.

Рис. 33.

Чтобы найти область возмущенной среды в случае сверхзвукового движения источника возмущений, напишем в момент времени уравнение поверхности сферической волны, вышедшей из точки А в момент времени и найдем огибающую всех таких сфер к моменту Замечая, что в момент центр рассматриваемой сферы будет занимать на оси х положение а радиус сферы, как легко сообразить, будет равен получим уравнение сферы в виде

Чтобы найти огибающую этого семейства сфер с параметром составим частную производную от обеих частей (15) по и исключим

из совокупности полученного таким образом уравнения

и предыдущего уравнения (15). Из уравнения (16) получим:

после подстановки этих величин в уравнение (15) найдем:

или, перенося начало координат в точку

где новая координата, заменяющая х по формуле

Равенство (18) при представляет уравнение кругового конуса с вершиной в точке осью симметрии и углом раствора удовлетворяющим равенству

откуда следует

Условимся в дальнейшем обозначать символом и называть "числом М" отношение скорости движения тела сквозь неподвижный газ к скорости распространения звука в нем, а также отношение скорости движения газа в данной точке к местной скорости звука.

Формулы (20) при принятом обозначении перепишу так:

причем в рассматриваемом случае сверхзвукового движения источника возмущения

Определяемый уравнением (18) конус будем называть конусом возмущений, а угол — углом возмущений. В случае плоского движения газа роль "конуса возмущений" будут играть две пересекающиеся прямые — линии возмущений.

Область вне конуса возмущений представляет область газа, куда к моменту прихода источника возмущений в точку А распространяющиеся в газе возмущения еще не успеют дойти.

Если, например, источником возмущений служит самолет, летящий в воздухе со сверхзвуковой скоростью, то в области вне конуса возмущений звукоулавливатель 3 (рис. 33) не обнаружит самолета, как бы близко к самолету ни был расположен звукоулавливатель. В области вне конуса возмущений воздух будет иметь невозмущенные давление и плотность.

Иная картина получится при движении самолета, если скорость его еще не достигла скорости звука. В этом случае возмущения, создаваемые самолетом, опережают движущийся самолет и создают возмущенное поле скоростей, давлений и плотностей впереди самолета.

При принятии модели несжимаемого воздуха, возмущения, как было ранее сказано, распространяются с бесконечно большой скоростью, т. е. мгновенно; в этом случае возмущения, производимые полетом самолета, передавались бы мгновенно в сколь угодно удаленные точки воздуха, окружающего самолет.

Рассмотрим теперь обращенное движение: сообщим неподвижному газу мысленно скорость и, равную по величине скорости движения источника А и противоположную по направлению его движению. Тогда источник А станет неподвижным, а газ будет набегать на него со скоростью и.

Такого рода стационарные потоки наблюдаются в сверхзвуковых аэродинамических трубах при продувке в них тел столь небольшого размера по сравнению с полем трубы, что тела эти можно рассматривать, как точечные источники возмущения.

Поверхность конуса возмущений представляет оптическую неоднородность, хотя и слабую по интенсивности, но все же достаточно заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта оптическая неоднородность (изменение показателя преломления) объясняется изменением плотности воздуха под действием сжатия или разрежения его в звуковой волне. Измеряя углы возмущений, по фотоснимкам обтеканий можно определить соответствующие числа а зная скорость распространения звука в среде, — и абсолютные скорости потока.

На рис. 34 и 35 показаны схематически конусы возмущения, вызванные носиком и пояском летящего снаряда при двух различных числах

Рис. 34.

Рис. 35.

Звуковые волны, распространяясь в ограниченных стенками каналах, отражаются от стенок и образуют сложные сетки линий возмущения.