§ 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок уплотнения. Связь между газодинамическими элементами до и за косым скачком

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание внутренней части тупого угла (рис. 123). В отличие от предыдущего случая после прохождения вершины угла О скорость потока должна уменьшиться, поэтому будем предполагать, что на участке слева от линии возмущения поток был сверхзвуковым, число было больше единицы, а угол

меньше прямого. Так как при повороте потока скорость его и число уменьшаются, то угол возмущения должен увеличиться, что в связи с поворотом потока в целом навстречу линии должно было бы привести к физически нелепому выводу — линия возмущения оказалась бы лежащей выше по потоку, чем линия Отсюда следует, что непрерывное сверхзвуковое движение внутри тупого угла невозможно. Если угол 9 поворота потока представляет конечную величину, то внутри тупого угла образуется линия разрыва, аналогичная ранее уже рассмотренному скачку уплотнения; но в отличие от прямого, перпендикулярного направлению движения потока скачка, в этом случае возникает косой скачок, образующий с направлением набегающего потока острый угол (рис. 124). Угол этот, как будет сейчас показано, зависит от начальных параметров движения до скачка и подлежит определению.

Рис. 123.

Рис. 124.

Анализ прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения ничем на будет отличаться от соответствующего анализа в случае прямого скачка. Подобно тому, как это делалось в гл. IV, применим для установления связи между элементами движения до и за скачком три основных уравнения механики: закон сохранения массы, энергии и закон изменения количества движения.

Условимся обозначать в дальнейшем индексом все величины до скачка, индексом -после скачка; кроме того, применим индекс для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка и индекс для нормальной составляющей скорости.

Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 124, будем иметь:

а) согласно закону сохранения массы:

б) по закону количеств движения в проекции на касательную к поверхности раздела:

в) по тому же закону в проекции на нормаль к поверхности раздела:

г) на основании закона сохранения энергии:

Из уравнений пп. "а" и "б" сразу вытекает основное для теории коссго скачка равенство

утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения составляющая скорости, касательная к поверхности скачка, сохраняется; скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая.

Переписывая уравнение энергии в виде

и сравнивая последнее уравнение, а также уравнения пп. "а" и "в" с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, убеждаемся, что уравнения косого скачка совпадают с уравнениями прямого скачка, составленными для нормальной скорости.

Отсюда можно заключить прежде всего, что между отношениями давлений и плотностей до и после скачка будет существовать та же связь, что и при прямом скачке, это — известная уже нам ударная (неизэнтропическая) адиабата, определяемая равенством (43) § 29 гл. IV и показанная на рис. 42.

Приводя поток перед и за косым скачком уплотнения каким-нибудь адиабатическим и изэнтропическим процессом к покою (индекс получим на основании уравнения п. "г":

отсюда сразу следует также, что:

Итак, при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения сохраняются температура и скорость звука в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе, а также критические значения температуры а скорости звука. Переписывая уравнение Бернулли

в виде

заключаем, что, как ранее было уже указано, для расчета косого скачка можно с успехом использовать формулы расчета прямого скачка, если только за скорость принять нормальную составляющую аействительной скорости а за критическую скорость величину

так же как и истинная критическая скорость сохраняющуюся, согласно (93) и (94), при переходе газа сквозь косой скачок уплотнения. При этом вместо известного соотношения для прямого скачка [формула (54) гл. IV]

получим обобщение этого соотношения на случай косого скачка:

Замечая, что, согласно рис. 124:

получим :

откуда

Перейдем еще обычным образом от к тогда будем иметь:

Это соотношение является основным для теории расчета косого скачка. Задаваясь числом и углом поворота потока, по (98) найдем угол скачка с начальным направлением потока. Заменяя в формуле прямого скачка (72) гл. IV число на , соответствующее нормальной составляющей скорости, получим отношение давлений в потоке за и перед косым скачком:

Перейдем к давлениям адиабатически и изэнтропически заторможенного газа до и за скачком. В полном согласии с ранее выведенной для прямого скачка формулой (75) и заменяя в ней на получим:

Напомним, что натуральный логарифм этого отношения пропорционален возрастанию энтропии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения.

Аналогичным путем выведем выражение числа за скачком через число до скачка и угол

Пользование формулами (98), (99) и (101) требует сложных вычислений, для избежания которых предложены различные графические приемы. Рекомендуем номограмму, позволяющую по заданному числу до скачка и углу поворота струи определять угол скачка с начальным направлением потока и величины и — в потоке за скачком. Поясним пользование номограммой на схеме (рис. 125), где жирной линией показана одна из кривых зависимости от

при Выбираем на верхней горизонтальной шкале точку соответствующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой, представляющей зависимость от Получаем в пересечении две точки, которым соответствуют два наклона линии скачка: отсчитываемые, как показывают стрелки, по левой вертикальной шкале номограммы, а также две пары значений: которые можно найти на правой вертикальной шкале чисел и горизонтальной шкале

Рис. 125.

Из указанных двух физически возможных наклонов косого скачка в действительности, как будет пояснено далее, может осуществляться лишь тот, при котором происходит более слабое уменьшение скорости и числа а следовательно, более слабое увеличение давления; такому скачку соответствует меньший из двух указанных на номограмме углов Если проследить за направлением возрастания величин по шкалам номограммы (на схеме рис. 125 эти направления указаны стрелками), то пригодным решением окажется система значений соответствующая нижней, "рабочей", точке номограммы.

Рассматривая номограмму более подробно, заметим, что не при всяком начальном значении числа можно найти величину угла скачка с начальным направлением потока. Каждому значению угла отклонения потока соответствует некоторое значение при котором вертикаль пересечет кривую только в одной точке При заданном получить косой скачок вообще нельзя. Этот факт можно проинтерпретировать и несколько иначе: при любом заданном числе набегающего потока можно указать такое максимальное значение угла отклонения потока, что при построить косой скачок нельзя. В этом случае явление усложняется тем, что скачок перемещается вверх по потоку, отходит от вершины угла, образуя так называемую головную волну, о которой уже была речь в гл. IV. Схема такой волны на примере обтекания клина показана на рис. 126. При обтекание остроносого профиля становится аналогичным обтеканию тупоносого.

Рис. 126.

Если угол поворота потока устремить к нулю, то семейство кривых показанных на номограмме жирными линиями, сведется к нижней кривой Как это следует из уравнения (98), будем иметь при

т. е. в этом случае косой скачок превращается в "линию возмущения". Обращаясь теперь вновь к вопросу о двузначности решения задачи о наклоне косого скачка, можем сказать, что в действительности осуществляется тот из двух возможных скачков уплотнения, который ближе к "линии возмущения".

Соединим между собою на номограмме вершины кривых соответствующие значениям тогда между этой кривой (на номограмме и схеме рис. 125 показанной жирным пунктиром) и линией окажется заключенной вся рабочая часть номограммы.

Возьмем точку пересечения кривой с вертикалью и верхней части номограммы и, не уменьшая числа устремим к нулю; тогда станет равным 90°, а косой скачок — прямым. Но

при стремлении к нулю, т. е. при непрерывном исчезновении причины возмущения (наличия угла), нет никаких физических оснований образовываться прямому скачку с характерным для него резким изменением параметров движения; наоборот, естественным является вырождение косого скачка уплотнения в "линию возмущения", которое и произойдет, если точку пересечения кривой с вертикалью взять в нижней (рабочей) части номограммы.

Номограмма наглядно показывает ход изменения параметров движения газа при прохождении его сквозь косой скачок уплотнения. Обратим внимание на специфическое отличие косого скачка от прямого.

Рис. 127.

Каков бы ни был начальный сверхзвуковой поток за прямым скачком, движение становилось дозвуковым, в случае косого скачка это уже не так. Пользуясь рабочей частью номограммы, легко заключить, что каковы бы ни были начальные числа до скачка, значения за скачком хотя и уменьшаются, но оказываются все же большими единицы; за косым скачком, таким образом, поток остается сверхзвуковым.

Отсюда следует, что в косых скачках не должны происходить столь резкие изменения в параметрах газа (давлении, плотности, температуре), как в прямом скачке. Это приводит и к более слабым превращениям механической энергии в тепловую, к меньшему возрастанию энтропии, а следовательно, и к меньшим потерям. Значительно меньшая по сравнению с прямым скачком интенсивность косых скачков с успехом используется для борьбы с потерями в прямых скачках, например, в головной волне перед тупоносым обтекаемым телом (§ 32 гл. IV).

Идея замены прямого скачка, переводящего сверхзвуковой поток с высоким значением числа сразу в дозвуковой, системой косых скачков, последовательно уменьшающих число оказывается весьма

полезной для практики. Так, например, для того, чтобы ослабить вредное влияние головной волны, образующейся на входе в реактивный двигатель самолета (вспомнить рис. 44) и уменьшающей естественное и полезное сжатие воздуха в камере горения, конструкцию входа изменяют. Помещая на входе в двигатель (рис. 127) "иглу", вызывают появление системы косых скачков, которые способствуют менее резкому, чем при одном прямом скачке, переходу набегающего потока от сверхзвукового к дозвуковому движению. Указанные на рисунке четыре косых скачка переводят сверхзвуковой поток со значительным числом постепенно в сверхзвуковой поток с числом близким к единице, а уже после этого прямой скачок малой мощности совершает с ничтожными потерями окончательное превращение набегающего потока в дозвуковой. При такой конструкции входа в реактивный двигатель потери напора значительно уменьшаются.

Рис. 128.

Изложенная в настоящем и предыдущем параграфах теория сверхзвукового течения внутри и вне вершины угла может быть положена в основу описания сверхзвукового движения газа около выпуклой или вогнутой поверхности. Действительно, заменяя непрерывную плавную поверхность (в плоском движении — линию) ломаной с достаточно малыми гранями, можно для каждого такого угла построить системы "линий возмущений" и таким образом установить течение в целом. На рис. 128 показано построение расширяющегося потока около выпуклой стенки, на рис. 129 — около вогнутой стенки. В первом случае поток ускоряется, местное число растет, и "линии возмущения" расходятся веером, так как с ростом вниз но течению числа углы линий возмущения с линиями тока убывают. Во втором случае, наоборот, поток замедляется, число убывает, и углы линий возмущения с направлением потока возрастают; это приводит к взаимному пересечению линий возмущения и к образованию огибающей их в некотором удалении от поверхности тела; эта огибающая представляет криволинейный скачок уплотнения, показанный жирной линией на рис. 129.

Рис. 129. (см. скан)

Перечисленные только что два характерных типа сверхзвуковых течений: 1) ускоряющегося и расширяющегося потока, проходящего сквозь непрерывные совокупности линий возмущения, служащие линиями плавного разрежения потока, и 2) замедляющегося и сужающегося потока, скачкообразно изменяющего свои параметры при прохождении через системы дискретных косых скачков, постоянно наблюдаются как при сверхзвуковых обтеканиях крыловых или лопаточных профилей, так и при протекании газа сквозь сопла и насадки.

Рис. 130.

В частности, эти явления имеют место на выходе из сверхзвукового сопла, если противодавление в камере не совпадает с расчетным давлением в выходном сечении сопла. В том случае, когда давление в камере несколько больше, чем в выходном сечении, струя сужается, и на выходе образуются косые скачки, повышающие давление выходящего из сопла газа (рис. 130, а). Если же давление в камере меньше, чем в выходном сечении, то поток продолжает расширяться, плавно уменьшая свое давление при прохождении через пучок линий возмущения (рис. 130,б).

Аналогичные явления происходят и при внешнем обтекании профилей. На рис. 131 для примера показана схема обтекания идеальным сверхзвуковым потоком пластинки, образующей с направлением потока конечный угол атаки.

Действительно происходящие явления усложняются как наличием отраженных волн от стенок каналов или смежных тел, так и неидеальиостью газа, приводящей к образованию пограничного слоя, создающего принципиальные изменения в картине скачков.

Рис. 131.