§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула Био - Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити. Аналогия с потенциалом двойного слоя

Наряду с основными "особенностями" скоростного поля: источниками, стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.

Предположим, что в некотором объеме (конечном или бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное распределение завихренности И и требуется разыскать распределение скоростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей поля скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится к составлению такого решения относительно V уравнения

которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от области, занятой вихрями.

Введем в рассмотрение так называемый векторный потенциал А [вспомнить формулу (33) § 37 гл. V), связанный с вектором скорости V соотношением

причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию

Тогда уравнение (23), если вспомнить основную формулу векторного анализа

превратится в

Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуассона (20), можем составить решение уравнения (25) в форме векторного обобщения ньютонова потенциала (19):

где радиус-вектор текущей точки поля по отношению к элементу объема

Согласно (24), для вектора скорости V получим искомое значение

Остановимся ближе на случае отдельной элементарной вихревой трубки, окружающей вихревую нить L (рис. 137), с циркуляцией

Обозначим через элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что и тогда, производя под знаком интеграла (27), по известной теореме о связи между интенсивностью вихревой трубки и циркуляцией скорости по охватывающему трубку контуру, замену

получим вместо (27):

Рис. 137

Используя формулу векторного анализа

и замечая, что является потенциальным вектором, так что сможем предыдущее выражение V переписать в виде:

Это решение задачи о построении поля скоростей вокруг заданной вихревой нити с циркуляцией можно еще упростить двумя различными путями.

Первый путь заключается в непосредственном вычислении градиента под знаком интеграла

и приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электромагнетизма формулы Био - Савара:

Если рассмотреть элементарную скорость образованную ("индуцированную", как принято говорить) в точке элементом вихревой нити то можно вместо (29) написать:

или, переходя к величине элементарной скорости:

По аналогичной формуле Био - Савара определяют магнитное поле от элемента электрического тока.

Чтобы проиллюстрировать применение формулы (29), определим скорость, индуцированную в различных точках пространства прямолинейным отрезком вихревой нити с циркуляцией (рис. 138).

Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной точке давать одинаково направленные элементарные скорости (по перпендикуляру к плоскости, проведенной через отрезок и точку в сторону вращения, создаваемого вихрем), найдем сначала по (29):

а затем, пользуясь очевидными равенствами кратчайшее расстояние точки от отрезка

получим выражение для

Рис. 138.

Интегрирование по от до дает искомое выражение скорости V, индуцированной вихревым отрезком

Формула (30) играет основную роль в расчетах поля скоростей вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории крыла конечного размаха.

Полагая в формуле получим вновь известную из теории плоского движения формулу скорости, индуцированной бесконечно длинной прямолинейной вихревой нитью

Второй путь преобразования формулы (28) полезен в том случае, когда приходится иметь дело с замкнутой вихревой линией конечной длины, огранивающей (рис. 139) некоторую разомкнутую поверхность . В этом случае

второй путь приводит к установлению формулы потенциала поля скоростей, индуцированного замкнутой вихревой нитью.

В полной аналогии с приведенным в § 13 гл. I выводом формулы Стокса для циркуляции векторп по замкнутому контуру

рассмотрим теперь, вместо циркуляции вектора, представляющей криволинейный интеграл по замкнутому контуру от скалярного произведения вектора на элемент контура, подобный же интеграл, по от векторного произведения

Рис. 139.

Построив элементарный цилиндр с образующими, параллельными орту нормали к поверхности а, и с направляющей ограничивающей элементарную площадку сможем пописать:

где — полная поверхность цилиндра, состоящая из боковой поверхности и двух оснований обозначают, соответственно, элементы контура поверхности а алемеитарного цилиндра (на рис. 139 dz представлено заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного произведения, получим:

Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным контурам слева и по всем элементарным площадкам справа, получим:

Полагая в этой формуле

будем иметь, вместо (28):

Но, как уже ранее упоминалось, функция представляет простейший случай ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению

(в чем легко убедиться и непосредственным дифференцированием), так что окончательно найдем:

Сравнивая эту формулу скорости с определением потенциала скоростей видим, что искомый потенциал скоростей равен

и припоминая выражение потенциала двойного слои (22), включаем, что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити с циркуляцией совпадает с потенциалом двойного слоя диполей, расположенных по поверхности а, опирающейся на контур и имеющих одинаковую по всей поверхности плотность распределения момента, равную циркуляции мхревой нити; совпадают при этом, конечно, и поля скоростей.

Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет аналог известной теоремы электродинамики об эквивалентности кругового электрического тока полю магнитного листка.

Прежде чем перейти к другим примерам пространственных течений, ннедем в рассмотрение функцию тока.