§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций комплексного переменного. Комплексный потенциал и сопряженная скорость

Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости.

Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны, будем рассматривать лишь движение в плоскости подразумевая, конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости, бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения, толщины. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндрического тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости т. е. в направлении оси

Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа, которое для плоского случая имеет вид:

Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным на бесконечности потоком со скоростью будут состоять из условия непроницаемости границ тела:

и условии на бесконечности:

где — угол между вектором скорости и осью

Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана, и решению ее посвящены многочисленные математические исследования. В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее мощного метода решения этой задачи — метода теории функций комплексного переменного. Из уравнения неразрывности

вытекает, что всегда можно найти функцию тождественно удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями скорости равенствами:

действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает его в тождество. Функция имеет простой гидродинамический смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока [формула (34) гл. 1

и подставим в него значения проекций скорости по (26), тогда будем иметь:

или

Из последнего равенства следует, что функция сохраняет постоянное значение вдоль линий тока, иными словами, семейство линий уровня функции

представляет совокупность линий тока. Функция в связи с этим называется функцией тока.

Проведем в плоскости течения контур (рис. 54) и вычислим секундный объемный расход (отнесенный, конечно, к единице длины направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это

сечение; будем иметь — направляющие косинусы нормали g к элементу

или по

Следовательно, разность значений функции тока в двух каких-нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.

Рис. 54.

Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограниченная двумя линиями тока, например, проходящими через точки на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованную двумя цилиндрическими поверхностями тока, имеющими в качестве направляющих линии тока в плоскости а образующих — перпендикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными координатной плоскости и отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице длины.

Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую-нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая

что можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то можно сказать, что значение константы в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.

Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал скоростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств

и выражения (26) тех же проекций через функцию тока будем иметь следующую систему соотношений:

Функции в и 4 не являются независимыми друг от друга функциями, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно называемыми условиями Коши-Риманна, при выполнении которых комплексная величина

будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функцией одной комплексной переменной Действительно, если величина х есть функция только положения точки с координатой то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т. е. координаты и не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, можно, например, утверждать равенство производной по любому направлению производным по направлениям действительной и мнимой осей:

Замечая, что:

и приравнивая, согласно равенству (32), друг другу правые части этих равенств, получим те же выражения условий Коши — Римаина (30).

Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного аргумента действительную и мнимую части, получим потенциал скоростей и функцию тока некоторого плоского безвихревого движения:

Приравнивая функцию различным постоянным значениям

получим семейство изопотенциальных ланий (следов пересечения плоскости цилиндрическими изопотенциальными поверхностями); аналогично совокупность равенств

согласно (27), представит семейство линий тока.

Легко убедиться, что изопотенциалъные линии и линии тока взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом. Для этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока:

Вычисляя Скалярное произведение градиентов и применяя соотношения Коши — Риманна (30), получим:

что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока.

Совокупность равенств:

можно рассматривать как формулы перехода от декартовых координат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам При этом изопотенциалыше линии и линии тока представят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные координаты полученные путем отделения действительной и мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут всегда ортогональными координатами. Установление взаимной связи между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским безвихревым движением и ортогональными криволинейными координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным.

Если вместо функции рассмотреть функцию в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока всегда играет сопряженную роль с функцией а(х,у) потенциала скоростей: каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собою безвихревых плоских движениях идеальной жидкости.

Рис. 55.

Заметим, что функцию тока в плоском движении можно рассматривать как проекцию на перпендикулярную к плоскости движения ось векторного потенциала А, связанного с вектором скорости V равенством

если предположить, что вектор А перпендикулярен плоскости движения. В самом деле, при будем иметь в полном согласии с формулой (26):

В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно определять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потенциала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть определено заданием либо скалярного потенциала либо проекцией на ось z векторного потенциала А. Пользуясь представлением векторном потенциале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28). рассмотрим секундный объемный расход жидкости сквозь сечение потока а рис. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур составленный из двух одинаковых контуров расположенных в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров

и к плоскости равных по длине единице. Будем иметь по (33) и формуле Стокса:

где контурный интеграл берется по замкнутому контуру Заметив, что криволинейные интегралы по отрезкам контура по определению плоского движения, взаимно сократятся и что по той же причине вдоль всего отрезка будет вдоль отрезка соответственно, получим по (35) при

ту же самую формулу (28).

О своеобразной аналогии между магнитными и гидродинамическими явлениями будет сказано в гл. VII в связи с решением задачи о поле скоростей вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо существенное значение.

Функцию объединяющую, согласно (31), в один комплекс оба "потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию векторного — функцию тока, называют комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.

Покажем как, зная комплексный потенциал определить вектор скорости V или его проекции и и и. Как известно, каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа. Условимся при изложении плоского движения обозначать через V комплексную скорость

а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля комплексного числа:

Наряду с комплексной скоростью V, введем в рассмотрение Сопряженную скорость V, равную

Если — угол, образованный вектором (комплексной скоростью V С действительной осью, то будем иметь:

Рассмотрим теперь производную комплексного потенциала по комплексному аргументу. По основному свойству функции комплексной переменной

откуда, согласно (30), сразу следует:

производная от комплексного потенциала (характеристической функции) по комплексной координате равна сопряженной скорости.

Проекции скорости и определятся, соответственно, как действительная и с обратным знаком мнимая части производной от характеристической функции по комплексной координате

Сопряженная скорость имеет ту же величину (модуль), что и комплексная скорость, но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56). Обратная величина

имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная скорость.

Совокупность комплексных координат частиц жидкости образует область течения жидкости в плоскости которую в связи с этим называют физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений комплексной скорости V образует плоскость годографа скорости или просто плоскость годографа-, в этой плоскости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места проведенных из начала О (рис. 56) концов векторов скорости частиц жидкости.

Рис. 56.