§ 48. Определение обтекания крылового профиля произвольной формы

В современных расчетах крыльев и винтов самолета, лопаток рабочих колес и направляющих аппаратов турбомашнн, вентиляторов и др. приходится определять обтекания разнообразного типа профилей, значительно отличающихся от "теоретических" профилей и имеющих настолько большую относительную толщину и вогнутость, что уже нельзя применять изложенную в предыдущем параграфе теорию тонкой слабо изогнутой дужки. Для решения этих задач встал вопрос о создании практического метода расчета обтекаиия крылового профиля произвольной заданной формы; основной целью такого расчета является определение распределения скоростей и давлений по поверхности профиля, причем технические требования к точности расчета оказываются по необходимости весьма высокими.

В настоящее время существует большое число методов такого расчета: одни методы используют идею приближенного конформного отображения заданного профиля на контур, обтекание которого заранее хорошо известно, другие сводят задачу к определению такой интеиснвностн размещаемого на

поверхности крыла вихревого слоя, чтобы в результате наложения плоско-параллельного набегающего потока на течение, индуцированное слоем, получилось обтекание заданного профиля. Последний путь крайне сложен, так как приводит к необходимости приближенного решения интегральных уравнений и тем самым к большому числу трудоемких вычислений. Наиболее оправдавшим себя, без сомнения, является первый путь, основанный на использовании конформных отображений. У нас в Союзе широко используются удачно доведенные до практических вычислительных приемов методы Я. М. Серебрнйского, С. Г. Нужина и Л. А. Симонова. За границей принят метод Теодорсена и его модификации.

Отсылая за деталями отдельных методов к цитируемым работам, остановимся здесь на основной идее применения метода конформных отображений и общем характере вычислительного анализа, приводящего к решению поставленной задачи. Начнем с метода Я. М. Серебрийского. Как уже было выяснено в § 46, формула конформного отображения Жуковского — Чаплыгина (98) преобразует систему софокусных эллипсов, стягивающихся к отрезку (рис. 94) физической плоскости в систему кругов с общим центром в начале координат во вспомогательной плоскости С. Далее было показано, что в плоскости существуют такие крыловые профили с нулевым углом на задней кромке (профили Жуковского — Чаплыгина), которые при выполнении того же конформного отображения (98) преобразуются в плоскости С в круги со смещенными относительно начала координат центрами (рис. 95). Если вместо отображения (98) взять обобщенное отображение (100), то аналогичному преобразованию в круг будут подвергаться и крыловые профили — обобщенные профили Жуковского-Чаплыгина, - заканчивающиеся острым углом, отличным от нуля (рис. 96).

Возьмем теперь крыловой профиль "произвольной" формы. Наметим среднюю линию ("скелет") этого профиля и определим его относительную вогнутость и толщину; после этого совместим, насколько это окажется возможным, профиль произвольной формы с подходящим к нему по вогнутости и толщине обычным или обобщенным профилем Жуковского-Чаплыгина. Из непрерывности отображающей функции (98) или (100) следует, что профили, близкие друг к другу в физической плоскости окажутся близкими и во вспомогательной плоскости Но один из этих профилей — профиль Жуковского — Чаплыгина — отображается на круг со смещенным центром, следовательно, второй — профиль произвольной формы — отобразится на некоторый близкий к кругу контур, который в дальнейшем изложении будем называть почти кругом. Для того чтобы "почти-круг" был по возможности близок к точному кругу, следует особо внимательно отнестись к вопросу о расположении передней и задней кромок относительно фокусов эллипсов в плоскости

Так, при пользовании обобщенным преобразованием (100), если за взят угол на задней кромке исследуемого профиля, то заднюю кромку профиля следует помещать точно в один из фокусов. При использовании обычного преобразования (98) это можно делать только в том случае, когда угол на

задней кромке очень близок к нулю; в противном случае следует угол на задней кромке исследуемого профиля закруглить и помещать фокус на половине расстояния от закругленной кромкн до центра ее кривизны.

Что касается расположения передней закругленной кромки (носка профиля), то при пользовании преобразованием (98) можно сохранить ту же рекомендацию, что и для задней кромкн. Основанием для этой рекомендации служит известное геометрическое свойство носка достаточно тонкого эллипса: фокус такого эллипса близок к середине радиуса кривизны носка. При использовании обобщенного преобразования (100) фокус рекомендуется размещать между только что указанной точкой и носком профиля.

При выполнении этих требований "почти-круг" будет представлять кривую, весьма близкую к кругу.

Произведя указанное размещение исследуемого профиля по отношению к точкам особым точкам преобразований 98) и (100), перейдем к самим преобразованиям. Будем для общности пользоваться преобразованием (100)

имея в виду, что при преобразование (100) переходит в обычное преобразование Жуковского — Чаплыгина (99).

Я. М. Серебрийскнй использует более простое преобразование (99), однако с точки зрения выгодного для дальнейших расчетов максимального приближения "почтн-круга" к кругу можно рекомендовать для профилей с конечным углом на задней кромке применение преобразования учитывающего наличие этого угла.

Рис. 97.

Обозначим (рис. 97) через декартовы координаты точек на профиле К в плоскости 2, церсз декартовы и через полярные координаты соответствующих точек "почти-круга" К в плоскости и через а — радиус близкого к "почти-кругу" точного круга в плоскости на рис. 97, совмещенной с плоскостью С. Наиболее трудоемкими в смысле вычислений операциями являются: определение уравнения .почти-круга в полярных координатах и представление логарифма отношения радиуса-вектора к радиусу круга а в виде ряда Фурье

Для этой цели следовало бы применять математические механизмы: конформный трансформатор для преобразования заданного профиля в "почти-круг" и гармонический анализатор для определения коэффициентов Фурье Механизмы, осуществляющие конформные преобразования (99) и (100), уже давно изобретены советскими учеными, но еще не внедрены в аэродинамическую практику.

Аналитическое установление связи (110) между представляет каких-либо трудностей, но требует кропотливых вычислений.

Перепишем соотношение (100) в виде (опускаем индекс, нуль)

и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в частях длины , а радиус-вектор в частях длины . Сохраняя обозначение , у для этих безразмерных величин, будем иметь:

положим:

тогда будем иметь расчетные формулы:

где

Задаваясь парами значений координат профиля последовательно вычисляем а затем При в случае обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина, формулы упрощаются. По вычисленным значениям строим график Для обработки полученной кривой к виду (110) можно применять любые известные приемы гармонического анализа. В ранее цитированной работе Серебрийского излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать тригонометрические представления резких местных отклонений на кривой вблизи точки при помощи комплексов вида

названных автором "горками". Применение широко затабулированных автором "горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для определения коэффициентов

Опуская изложение практических деталей вычислительного характера — их можно найти в раиее цитированной работе Серебрийского, — будем считать, что ряд (110) уже составлен и коэффициенты его определены. Обратимся к установлению приближенных формул конформного отображения области вне "почти-круга" в плоскости комплексного переменного С на область вне круга в плоскости Введем обозначения:

где являются полярными координатами точек плоскости С, а величины соответственно полярными координатами точек плоскости в последнем случае радиус-вектор выражен как произведение радиуса круга а на переменный коэффициент X, причем окружности соответствует значение

Следуя Серебрийскому, будем искать функцию, отображающую внешнюю по отношению к "почти-кругу" К часть плоскости С на внешнюю по отношению к кругу часть плоскости в виде

где при коэффициенты являются комплексными величинами, а представляет действительную величину. Тогда, согласно (111). найдем

или, полагая

и сравнивая в (112) действительные и мнимые части, будем иметь:

Как уже ранее указывалось, при достаточно тщательном расположении преобразуемого крылового контура К относительно точек и удачном

подборе угла а следовательно, и , контур "почти-круга" К будет мало отличаться от контура круга соответствующие точки будут близки друг к другу и, как показал Серебрийский, можно с достаточной для практики точностью пренебречь в перлом приближении разницей между полярными углами и в соответствующих точек в плоскостях . При желании метод позволяет получить следующие приближения, учитывающие разннцу между углами .

Замечая, что для точек, лежащих на контурах будет: перепишем в принятом приближении первое равенство предыдущей системы в виде

Это равенство полностью совпадает с ранее установленным разложением (110). Таким образом, искомые коэффициенты входящие в преобразование (112) через комплексные коэффициенты оказываются уже известными. После этого не трудно по вычислить комплексные коэффициенты тем самым полностью определить основное преобразование (112) и решить поставленную задачу. Опыт многочисленных расчетов показал, что для употребительных на практике крыловых профилей изложенное первое приближение оказывается вполне достаточным.

Совокупность равенств (100) и (112) дает преобразование части плоскости вне крылового контура К на внешнюю по отношению к окружности круга часть плоскости т. е. как раз то основное конформное преобразование (74), о котором говорилось в § 42 (вспомнить рис. 85).

Желая найти распределение скоростей по поверхности крылового профиля К или вне его, используем комплексный потенциал обтекания кругового контура с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь

Величину наложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом Чаплыгина о плавном обтекании задней кромки крыла, представленным формулой (80), Заметим, что последние два сомножителя в только что составленном выражении комплексной скорости имеют чисто геометрический характер и не зависят от кинематических условий обтекания — скорости и угла атаки. Это делает простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки на другой, если комплексные величины и — для заданной формы крылового профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг профиля представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Серебрийским путем применения специальных приемов.

В методе Нужина промежуточное отображение на "почти-круг" отсутствует и решение задачи сводится к непосредственному отображению области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне круга (см. рис. 97).

Для этого между физической плоскостью течения z и вспомогательной плоскостью устанавливается соответствие в форме ряда Лорана

с неизвестными комплексными коэффициентами

Полагая в и выделяя в нем действительную и мнимую части, получим систему двух действительных равенств:

представляющих параметрическое уравнение крылового контура, выраженное через параметр — угол в плоскости между радиусами-векторами точек на круге соответствующих точкам на контуре К, и действительной осью.

Разобьем координаты и на полусуммы и полуразности их значений на круге в точках с угловыми координатами и положив

Входящие сюда иовыс коэффициенты Фурье:

могуг быть определены по обычным формулам:

Неизвестные коэффициенты определяются следующим процессом последовательных приближений. За нулевое приближение принимается:

что соответствует отображению на круг пластинки. Затем, задаваясь последовательными значениями и соответствующими значениями определяют по чертежу крылового профиля величины ординат а также и проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными выражениями коэффициентов Фурье (115), по найденным значениям

определяют новые значения коэффициентов и в первом приближении. Эти значения коэффициентов позволяют найти новые функции а это в свою очередь по предыдущему приведет к уточненным значениям ординат и т. д.

Не останавливаясь на весьма интересных деталях метода С. Г. Нужина, облегчающих проведение выкладок и делающих наглядными, заметим, что автору метода удалось провести доказательство сходимости процесса последовательных приближений, что выгодно характеризует метод с теоретической стороны.

Можно заметить, что наибольшие вычислительные трудности в обоих только что рассмотренных методах связаны с необходимостью определения коэффициентов ряда Фурье, выражающего логарифм отношения радиуса-вектора точек "почти-круга" к радиусу круга через угол в промежуточной плоскости в методе Серебрийского, или координаты крылового профиля в физической плоскости в функции от полярного угла в вспомогательной плоскости в методе Нужина. В первом из указанных методов для этой цели с успехом используется способ "горок", во втором приходится непосредственно вычислять квадратуры (115),

В методе Л. А. Симонова основную роль играет преобразование внешней по отношению к контуру крыла К части плоскости z на часть плоскости вне круга аналогичное (113), с той лишь разницей, что при в первой степени сохраняется комплексный коэффициент. Замечая, что из первых членов разложения (113) можно выделить группу, представляющую отображение некоторой "эквивалентной" пластинки, имеющей одинаковую с рассматриваемым крыловым контуром подъемную силу, Л. А. Симонов интерпретнрует указанный комплексный коэффициент, как одну четверть комплексного вектора, совпадающего по величине и направлению с эквивалентной пластинкой. Ряд (113) может быть представлен при этом в виде проекции эквивалентной пластинки)

Отделение действительной и мнимой частей приводит к рядам, аналогичным (113), которые, пользуясь известными формулами теории функции комплексного переменного, удается представить в интегральной форме:

Определенные в точках крылового контура производные удовлетворяют системе равенств:

аналогичной (116). Расчет функций: может быть произведен путем последовательных приближений в системах (116) и (117), причем входящие в правые части этих уравнений интегралы могут быть сведены к суммам, аналогичным применяемым в механических квадратурах.

Основной особенностью метода Л. А. Симонова является установленная им тесная связь между параметрическими выражениями координат крылового профиля и величинами (6) и (6), входящими в основную формулу распределения скоростей.

Рис. 98.

Это позволяет при пользовании методом разрешать как прямую задачу разыскания распределения скоростей на поверхности заданного профиля, так и обратную задачу определения формы крылового профиля по заданному распределению скоростей или давлений по его поверхности.

Расчет по методу Симонова становится особенно простым, если исследуемый произвольный профиль сравнивать с близким ему профилем, обтекание которого уже известно. В этом случае дело сводится лишь к определению малых поправок.

В оригиильной статье Л. А. Симонова можно найти интересные материалы, иллюстрирующие применение метода к конкретным крыловым профилям. Весьма существенен указанный автором прием составления нового

профиля путем сложения комплексных координат или пропорциональных величин двух известных профилей, и определения скоростей по поверхности такого составного профиля.

На рис. 98 сплошными кривыми представлены рассчитанные по методу Серебрийского распределения давления по верхней и нижней поверхностям некоторого симметричного профиля, имеющего сравнительно с профилем Жуковского смещенное назад мнделево сечение (место максимальной толщины).

По оси ординат отложена уже знакомая нам безразмерная величина разности давлений в данной точке поверхности профиля и на бесконечности, отнесенная к скоростному напору набегающего потока

по оси абсцисс — безразмерная координата, равная отношению абсциссы точки на профиле, отсчитываемой по оси симметрии профиля от носика, к длине профиля.

Как видно графика, смещение назад места максимальной толщины симметричного профиля приводит при нулевом угле атаки к более плавному распределению давлений по поверхности профиля, чем у симметричного профиля Жуковского (на рис. 98 — пунктир) той же относительной толщины. В дальнейшем будет показано, что при прочих равных условиях, в частности, при том же коэффициенте подъемной силы, плавность распределения является положительным признаком крылового профиля с точки зрения его сопротивления и поведения при больших скоростях. Далее из графиков видно, как меняется распределение давления при возрастании угла атакн, как возникает пик разрежения на верхней поверхности и насколько он быстро развивается (на рис. 98 пик разрежения, при равный не поместился на чертеже).

Как можно заключить из предыдущего, задача об определении обтекания крылового профиля произвольной формы не представляет теоретических трудностей. Существующие в настоящее время работы посвящены, главным образом, улучшению вычислительных приемов.

Для той же цели может служить специальный электрический прибор, использующий для определения потенциала скоростей обтекания электрогидродинамическую аналогию (ЭГДА) между этим потенциалом и электрическим потенциалом, создаваемым в специальной электролитической ванне.