§ 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя. Непрерывное распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал. Потенциал простого и двойного слоев

На основании общих соображений, приведенных в гл. V, задачу о внешнем обтекании тела потоком с однородным полем скоростей в бесконечном удалении от тела можно значительно упростить, сделав наперед предположение о безвихревом характере движения. В этом предположении во всей области движения имеем

и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал о, именуемый потенциалом скоростей и связанный с вектором скорости равенством:

Предполагая еще, что жидкость несжимаема, будем иметь условие

то вместе с (13) приводит к равенству

представляющему известное уравнение Лапласа.

Итак, искомый потенциал скоростей является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем обтекании некоторого твердого тела с поверхностью а и ортом внешней нормали однородным на бесконечности потоком с заданной скоростью Тогда граничными условиями будут:

а) условие непроницаемости поверхности тела:

б) условие на бесконечности

где радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о, уравнение Лапласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение; функция представляющая это решение, называется гармонической функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача в пространстве представляет непреодолимые трудности.

Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов наиболее простых движений.

1°. Однородный прямолинейный поток, параллельный некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую заданную скорость V с проекциями будет удовлетворять очевидной системе равенств:

Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен

где - углы заданного направления потока с осями координат

2°. Ноток источника (стока) мощности будет симметричен относительно положения источника и даст ноле скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода

где радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника; отсюда получим:

Замечая, что и сферической системе координат

найдем искомый потенциал скоростей

причем, в случае источника в случае стока . В выражении (17) нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающийся в теории притяжения, электростатике и др.

3°. Поток диполя получим, используя допустимое в силу линейности уравнения Лапласа (15) наложение частных решений уравнения. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с равными по абсолютной величине мощностями

Рис. 134.

Расположим сток (рис. 134) в точке А прямой линии источник — в смежной точке А, находящейся от точки А на расстоянии Определим потенциал скоростей в некоторой точке с вектором-радиусом образующим угол с направлением прямой будем иметь:

Предположим теперь, что, аналогично тому, как это имело место к случае плоского диполя (§ 38), источник сближается со стоком, но так, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенство:

Тогда, переписывая потенциал скоростей в виде

и переходя к пределу, получим следующее выражение потенциала с коростей:

или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 134,

получим еще такое его выражение:

Полученный предельный поток с потенциалом скоростей о, определенным формулами (18) или (18), называют потоком диполя, находящегося в точке А, имеющего ось и момент Иногда момент диполя рассматривают как вектор имеющий величину и направленный по оси диполя при этом потенциал диполя можно представить в виде:

4°. Непрерывное распределение источников в пространстве. Предположим, что внутри некоторого объема z (рис. 135) непрерывно распределены источники (стоки) так, что на единицу объема приходится мощность Величина представляющая Функцию координат точек в объеме играет роль объемной плотности распределения источников или стоков . Элементу объема находящемуся в некоторой точке А объема будет соответствовать источник мощности и потенциал скоростей этого элементарного источника в любой точке пространства, заполненного жидкостью как внутри,

Рис. 135.

так и вне объема будет равен:

где длина вектора-радиуса соединяющего элементарный источник в точке А с текущей точкой пространства Пользуясь идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей в точке от непрерывно распределенных в объеме источников в виде:

Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементарным объемам, образующим объем по переменным координатам точки А, в то время как точка является фиксированной, в которой определяется потенциал скоростей. Если обозначить через декартовы координаты точки А, а через (х, координаты точки то формулу (19) можно переписать явно так:

Если область течения жидкости безгранична, то функция при удалении точки в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим через среднее расстояние точки от частиц конечного объема тогда при достаточном удалении точки можно сказать, что потенциал скоростей будет стремиться к нулю, как при , или еще иначе, что функция обращается в нуль первого порядка на бесконечности:

Полученный потенциал скоростей представляет общее выражение ньютонова потенциала. Если под понимать плотность распределения массы в объеме то выражение (19) даст потенциал сил тяготения единичной массы в точке к неоднородной массе, заключенной в объеме если под понимать плотность распределения электрических зарядов, то будет потенциалом электростатического поля. Это же выражение играет роль потенциала скоростей непрерывно распределенных в объеме источников в рассматриваемом нами гидродинамическом случае. Широкие связи, существующие между, казалось бы, столь различными физическими областями, как гидродинамика, тяготение, электричество и др., позволяют использовать эти аналогии

для практического изучения процессов на тех объектах, которые позволяют проще и точнее изучать явления. 1

Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных источников (§ 11), можем, очевидно, в любой точке объема - написать:

или, заменяя

Отсюда вытекает, что функция определенная формулой (19) в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конечный объем х, является решением уравнения Пуассона (20) внутри объема; в остальной области, где функция представляет решение уравнения Лапласа

причем это решение таково, что обращается на бесконечности в нуль первого порядка.

В. теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (19) представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное, с такой же первой производной по координатам решение уравнения Пуассона (20), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка.

Наряду с объемным распределением источников, в гидродинамике, так же как и в других отделах физики, рассматривают еще поверхностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверхностней и линейной плотности распределения мощности источников то же обозначение будем иметь соответствующие потенциалы скоростей к виде поверхностного и линейного интегралов:

Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения и электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя так же, как и ньютонов потенциал объемного распределения (19), является решением уравнения Лапласа, причем, как Доказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен

и непрерывен во всей области, включая и поверхность . Производная от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности о претерпевает при переходе текущей точки через поверхность о разрыв непрерывности — конечный скачок.

Подобно тому, как только что рассматривались потенциалы скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся на одном, наиболее интересном распределении диполей, образующем так называемый двойной слой. Возьмем некоторую поверхность и покроем ее непрерывно распределенными диполями так, чтобы моменты их (или оси) совпали по направлению с внешними нормалями к поверхности . Обозначив плотность распределения диполей через получим вектор элементарного момента диполя, приходящегося на элементарную площадку с ортом внешней нормали в виде а элементарный потенциал скоростей согласно (18) или (18), будет равен

где (рис. 136) — угол между внешней нормалью к поверхности и вектором-радиусом текущей точки относительно точки А, взятой на поверхности.

Рис. 136.

Полный потенциал скоростей от всей покрытой диполями поверхности а:

служит гидродинамической аналогией известного в теории электричества и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого слоя представляет, например, электростатический потенциал заряженной поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный потенциал намагниченной поверхности (магнитного листка).

Упомянем, что потенциал двойного слоя (22) также является решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал

двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности при переходе текущей точки через поверхность а.

Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно разрешать различные задачи обтекания тел.