§ 53. Нелинеаризированные уравнения движения идеального сжимаемого газа. Переход в плоскость годографа. Уравнения Чаплыгина

В предыдущем параграфе рассматривались лишь те простейшие случаи до- и сверхзвуковых течений, которые приводили к возможности использования линеаризированных уравнений движения. Малость возмущений, создаваемых обтекаемыми телами, позволяла отбрасывать вторые и старшие степени, а также произведения возмущенных элементов потока и их производных. При обтекании крыловых профилей сравнительно большой толщины и вогнутости уже нельзя пользоваться линеаризированными уравнениями и граничными условиями, а приходится обращаться к общим, нелинеаризированным уравнениям течения сжимаемого газа.

Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на изложении различных существующих методов приближенного решения нелинеаризированных уравнений. Наибольшее применение для решения газодинамических задач в последнее время получили уравнения Чаплыгина, открытые им еще в 1901 г. и опубликованные в известной докторской диссертации, представленной к защите в Московский университет в 1902 г. С. А. Чаплыгин показал, что, если в уравнениях движения сжимаемого газа перейти от независимых переменных х, у в физической плоскости к новым независимым переменным: модулю скорости движения в дальнейшем обозначаемому через

и углу 6 вектора скорости с осью в плоскости годографа скорости, то нелинейные в физической плоскости уравнения газовой динамики становятся в плоскости "годографа скорости" линейными.

Для доказательства этого важного результата используем введенные ранее потенциал скоростей и функцию тока, положив:

где плотность в покоящемся газе; отсюда следует:

или, умножая второе уравнение на и складывая с первым,

Заменяя в последнем равенстве:

получим соотношение

обобщающее на случай сжимаемого газа известную уже но предыдущей главе связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного потенциала по координате.

Чтобы перейти к новым независимым переменным , будем считать функциями и ; тогда равенство (41) перейдет в следующее:

Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых дифференциалах новых независимых переменных, получим:

Напомним, что входящая в систему (42) величина равная по известной формуле изэнтропического движения

зависит только от величины скорости а не от ее направления

Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую переменную продифференцируем первое уравнение (42) по , второе — по и результаты вычтем друг из друга, тогда, в силу очевидного соотношения

получим равенство:

которое после очевидных сокращений и выделения действительных и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений:

Замечая, что

а по теореме Бернулли

найдем

после чего система (44) окончательно перепишется в форме:

Введем вместо переменную Чаплыгина равную

где критическая скорость.

Заменяя в формуле Бернулли

согласно предыдущему равенству

получим:

откуда следует:

а по

кроме того,

Подставляя только что найденные выражения в систему (45), получим систему уравнений Чаплыгина:

Перекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений системы (46) можно получить раздельные уравнения для и причем эти уравнения будут линейными уравнениями второго порядка в частных производных. Так, например, уравнение для функции тока имеет вид:

или, если вернуться к координатам 9 и ввести местную скорость звука а,

Диссертация С. А. Чаплыгина содержит изложение ряда применений предыдущих уравнений к расчету струйных обтеканий тел, Для решения этой задачи устанавливаются общие разложения в ряд, которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжимаемости газа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая интересующихся к оригиналу, обратимся к рассмотрению другой задачи — о дозвуковом безотрывном обтекании крылового профиля.