§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой пластине. Сопротивление пластины

В начале настоящей главы было показано, что в развивающемся вдоль поверхности крыла пограничном слое наблюдается как ламинарная, так и турбулентная части. Расположенная между ними переходная область, внутри которой законы движения жидкости еще мало изучены, при больших рейнольдсовых числах невелика и в первом приближении может быть заменена "точкой перехода". Это позволяет порознь рассчитывать сначала ламинарный участок пограничного слоя, для чего применяются методы, изложенные в конце гл. VIII, затем турбулентный слой — по законам "установившейся" турбулентности и, наконец, сращивать оба решении вдоль сечения, проведенного через точку перехода.

Обобщим прежде всего на случай турбулентного пограничного слоя основное интегральное соотношение (91) § 87 предыдущей главы. Для этого заметим, что уравнения турбулентного пограничного слоя могут быть составлены из уравнений Рейнольдса (11) совершенно аналогично тому, как уравнения ламинарного пограничного слоя были составлены из уравнений движения вязкой жидкости. Будем иметь аналогично (89) § 87:

где обозначает касательное напряжение трения между струями осредненного течения, причем заключает в себе как турбулентное, так и обычное, вязкостное трение.

Повторяя рассуждение начала § 87 предыдущей главы и вводя те же самые обозначения для условных толщин слоя и , получим вновь уравнение (91) с той лишь разницей, что должны составляться при помощи осредненных скоростей. Величина напряжения трения на стенке будет определяться обычной формулой вязкого трения так как на стенке турбулентные пульсации, нормальные к стенке, вместе с турбулентным трением обращаются в нуль. Таким образом, действительно, уравнение импульсов сохраняет в случае турбулентного пограничного слоя тот же вид, что и в случае ламинарного слоя.

Рассмотрим задачу о продольном обтекании пластины. В этом случае и уравнение (91) § 87 приведется к виду:

Следуя принятому в теории ламинарного пограничного слоя приближенному методу и предполагая, что во всех сечениях турбулентного пограничного слоя наблюдается установившаяся турбулентность, выберем в качестве семейства профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного пограничного слоя те же логарифмические профили скоростей:

что и в сечении трубы, но в отличие от трубы будем считаться с переменностью величины напряжения трения а следовательно, и вдоль поверхности пластины.

Составим входящую в уравнение (45) величину 5. Для этого применим сначала соотношение (46) к внешней границе турбулентного пограничного слоя; тогда будем иметь:

Простые выкладки приведут к выражениям:

После этого найдем:

причем постоянные легко вычисляются:

Переходя в предыдущей формуле к рейнольдсовым числам

получим:

Определяя отсюда и подставляя в равенство (47), найдем связь между

Заменяя в этом выражении натуральный логарифм на десятичный и на получим:

Равенство (49) представляет в неявном виде связь между местным коэффициентом сопротивления пластины

и рейнольдсовым числом Соотношение (49) может быть значительно упрощено, если, определив из (49) путем последовательных приближений или графически, заметить, что последние два слагаемые представляют слабо изменяющуюся функцию их сумма в широком диапазоне чисел от до может быть заменена своим средним значением 3,8. Это приведет к следующему простому выражению коэффициента местного сопротивления пластины через рейнольдсово число

Обработав большое число экспериментов различных авторов над длинными пластинами при больших значениях рейнольдсовых чисел, Фолкнер предложил простой эмпирический степенной закон скоростей и сопротивлений, который при пересчете на принятые у нас величины может быть представлен в виде:

Рис. 197.

Эта формула при больших с успехом заменяет более сложное выражение (50).

На рис. 197 приводится в логарифмическом масштабе для сравнения прямая (51) и несколько гачек, рассчитанных по предлагаемой выше формуле (50). При больших рейнольдсовых числах совпадение можно признать более чем удовлетворительным и в дальнейшем пользоваться формулой (51). Уравнение (45) после этого легко интегрируется. Имеем:

интегрирование дает:

Предположим сначала, что ламинарный участок пренебрежимо мал и турбулентный слой устанавливается прямо с передней кромки пластины. Тогда при или, что все равно, при это означает, что

При таком предположении будем иметь:

Возвращаясь от рейнольдсовых чисел и к толщине потери импульса и абсциссе х, получим:

Отношение толщины потери импульса к абсциссе представляет слабую функцию рейнольдсова числа

Толщина потери импульса в турбулентном пограничном слое на пластине растет пропорционально абсциссе в степени шесть седьмых; этот закон мало отличается от линейного. Вспомним, что в случае ламинарного слоя на пластине толщина потери импульса возрастала пропорционально корню квадратному из абсциссы, т. е. гораздо медленнее, чем в турбулентном слое.

Соотношение (53) дает хорошее совпадение с формулой Фолкнера, полученной в результате обработки опытов на воде, и подтверждается опытами, проведенными в аэродинамических трубах.

Для определения толщины вытеснения при больших значениях числа Рейнольдса можно предложить эмпирическую формулу:

С убыванием рейнольдсова числа величина несколько возрастает; некоторые авторы принимают

Определив по (51) и (53) найдем:

что дает следующую формулу местного коэффициента трения

Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента сопротивления пластины длины I:

(кликните для просмотра скана)

Имеем:

и в силу (56):

где под понимается рейнольдсово число обтекания пластины:

Теоретические (правильнее сказать полуэмпирические) формулы (56) и (57) хорошо совпадают с результатами различных опытов при больших значениях чисел Рейнольдса и могут с успехом применяться для расчета сопротивления пластин при тех режимах обтекания их, когда ламинарный участок мал.

На рис. 198 приводится сводный график, на котором нанесены экспериментальные точки, относящиеся к самым различным условиям опытов в воздухе и в воде на пластинах, как полностью гладких, так и со специально помещенными вблизи носовой точки шероховатостями, служащими для преждевременного создания турбулентного пограничного слоя; опыты проведены в широких пределах рейнольдсовых чисел. Предлагаемая степенная формула (57) практически совершенно не отличается от старой логарифмической формулы Прандтля (на рисунке - сплошная кривая)

и прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного обтекания пластинки без ламинарного участка в носовой части. Показанная пунктиром степенная зависимость

пригодна лишь при сравнительно малых примерно до При больших эта прямая резко отходит от экспериментальных точек, как это хорошо видно на второй половине рис. 198. Полуэмпирическое обоснование формулы (59) связано с использованием степенного. профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, соответствующего степенному профилю скоростей в трубе, приводящему к ранее упомянутой формуле сопротивления Блязиуса

Из графика, приведенного на рис. 198, вытекает важное Следствие: коэффициент сопротивления пластины с полностью ламинарным слоем значительно меньше, чем коэффициент сопротивления пластины с полностью турбулентным слоем. Так, например, если бы каким-нибудь образом удалось получить обтекание пластины с полностью ламинарным слоем при то коэффициент сопротивления ее был бы равен ; при полностью турбулентном слое и том же имеем примерно в два с половиной раза больше. При больших числах Рейнольдса эта разница становится еще разительнее. Отсюда следует важность борьбы за "затягивание" ламинарного слоя на поверхности обтекаемого тела путем придания повышенной гладкости в лобовой части тела и др.

Желая рассчитать сопротивление пластины, имеющей в носовой части значительный участок ламинарного пограничного слоя, будем суммировать сопротивления трения ламинарного и турбулентного участков, причем сопротивление ламинарного участка найдем по формулам предыдущей главы, а турбулентного — по формулам (51) и (52). Вопрос осложняется необходимостью разыскания этом случае постоянной С, входящей в уравнение (52).

Заменяя область перехода одной точкой, необходимо условиться о способе сращивания решений задачи для области ламинарного и турбулентного движений. Наиболее естественным с точки зрения принятых в предыдущей и настоящей главах приемов является использование предположения об одинаковости толщины потери импульса в сечении, где происходит смыкание ламинарного и турбулентного участков. Это условие заключается в приравнивании 8 или в начальной точке турбулентного пограничного слоя их значениям в конце ламинарного участка, рассчитанным по теории ламинарного пограничного слоя.

Обозначая эти общие для обоих участков пограничного слоя в точке перехода величины через будем иметь по (52):

причем, согласно § 85,

Не останавливаясь на простых деталях, укажем, что учет влияния величины на полное сопротивление пластины приводит к переходным кривым, показанным на рис. 198 жирными пунктирными линиями. Для различных аэродинамических труб или других искусственных потоков положение и форма этих переходных кривых зависят от изменения значений параметра Величина определяется, как уже указывалось в § 92, в зависимости от турбулентности набегающего потока, шероховатости поверхности вблизи передней кромки и других причин.

На рис. 198 правая пунктирная переходная кривая относится к случаю сравнительно большой протяженности ламинарного участка в носовой части пластины, левая — к случаю малого ламинарного участка. Из рассмотрения переходных кривых вновь вытекает, что чем больше, при одном и том же рейнольдсовом числе, относительная длина ламинарного участка, тем коэффициент сопротивления меньше. Отсюда следует уже высказанное ранее положение о выгодности тщательной полировки лобовой части пластины или крылового профиля с целью затягивания ламинарного режима течения в пограничном слое. Что такое затягивание практически возможно, следует из указанных в § 91 численных значений до 9300). Крылья с затянутым ламинарным пограничным слоем называют ламинизированными.

Полуэмпирическаи теория турбулентного пограничного слоя на пластине в сжимаемом газе была дана для случая отсутствия теплоотдачи А. А. Дородницыным, а позднее, с учетом теплоотдачи, Калихманом. 3 Обе работы используют преобразование Дородницына, известное уже нам по предыдущей главе.