§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение цилиндрических координат. Течение сквозь каналы

Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений является движение, симметричное относительно некоторой оси (например, оси кратко называемое "осесимметричным". Сюда относятся всевозможные движения в соплах круглого сечения, в конфузорах и диффузорах, осевого обтекания тел вращения, сигарообразных, дирижабельных и других форм.

Составим общие уравнения осесимметричного движения. Предположим, что в меридиональных плоскостях (рис. 143), образующих с плоскостью угол выбрана некоторая, не зависящая от угла

система ортогональных криволинейных координат Тогда будем иметь в каждой из меридиональных плоскостей:

и вообще для любой точки М:

отсюда по формулам (2) § 60 легко найти коэффициенты Ляме:

Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет, согласно равенству (12) § 60, иметь вид:

так как третий член равенства (12), заключающий производную по координате в силу принятой осевой симметрии движения обращается в нуль.

Рис. 143.

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что уравнение осесимметричного движения (47), составленное в координатах не совпадает с уравнением плоского движения в тех же координатах; точно так же и сами движения: пространственное осесимметричное течение вдоль тела вращения и плоское обтекание меридионального сечения этого тела отличаются друг от друга и не могут даже приближенно сопоставляться. Так, напомним, что распределение скоростей по поверхности сферы оказалось совершенно отличным от соответствующего распределения в плоском обтекании круглого цилиндра: максимальная скорость в первом случае

равнялась трем вторым от скорости набегающего потока, во втором — удвоенной скорости того же потока. Разница в уравнениях такого рода движений сразу видна из уравнений (46) и (47). В случае плоского движения коэффициент Ляме оказался бы равным единице, а не и уравнение (47) приняло бы вид:

Наличие в уравнении (47) существенного множителя под знаком производных создает значительную разницу между уравнением осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением плоского движения в тех же координатах.

Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве криволинейных координат обычные прямоугольные координаты будем иметь: следовательно, уравнение движения приведется к простому виду:

соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах при отсутствии зависимости движения от

Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами анализа. Можно, например, составить такой, хорошо известный интеграл уравнения (48):

где аналитическая во всей области течения функция. Действительно, если аналитическая функция, то она сама удовлетворяет уравнению Лапласа (48). Имеем, рассматривая как параметр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему аргументу:

и, подставляя в (48),

Вычисляя теперь аналогичные производные от функции представленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства:

Функция имеет в нашем случае простой физический смысл. Составим выражение составляющей скорости, параллельной оси течения:

и определим ее на оси потока Тогда будем иметь:

Таким образом, первая производная от представляет собою не что иное как распределение скорости вдоль оси симметрии течения. Задаваясь видом функции

найдем но (49) распределение скоростей течения:

а при желании и функцию тока:

Нулевой линией тока служит ось течения

Простейший пример такого осесимметричного течения получим, если положим

т. е. потребуем, чтобы жидкость имела бесконечную скорость на отрицательной бесконечности и нулевую скорость вначале координат причем зададим линейный закон уменьшения скорости. В этом случае легко найдем:

Поверхности тока имеют уравнением

общее их расположение показано на рис. 144. Картина течения соответствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности.

Рис. 144.

Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси при и к плоскости при

Вычисление интегралов (49), (50) и (51) может представить иногда сложность, которую можно обойти, если, воспользовавшись аналитичностью функций разложить их в ряды:

Подставим эти разложения в рассматриваемые формулы и, замечая, что

получим:

Пользуясь этими формулами, можно строить различные формы конфузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим:

что дает плавное изменение скорости вдоль оси показанное на графике (рис. 145). Последовательные производные функции определяются очевидным равенством:

причем

Рис. 145,

Вспоминая определение полиномов Эрмита

будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной функции

На рис. 146 приводятся линии тока и распределение продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку.

Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль конфузора, причем эпюры покажут, насколько однородно поле скоростей в различных сечениях конфузора. Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис. 146 штриховкой, имеет достаточно хорошую форму: некоторое повышение скорости к стенкам конфузора не вредит делу, так как подтормаживание жидкости из-за вязкости вблизи стенок должно выправить поле. Рассчитанный конфузор, как видно из рис. 145 и 146, удваивает скорость движения. Изложенный только что метод может с успехом применяться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел и других каналов, если скорости в них значительно меньше скорости звука.

Рис. 146.