§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвязной области

В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека (13) гл. III:

и положим в нем, согласно (4),

Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного или локального дифференцирования по времени и пространственного

будем иметь вместо (9) равенство:

которое приводит к выражению первого интеграла уравнений движения

где произвольная функция времени, определяемая из граничных условий. Полученное соотношение (11) называют интегралом. Лагранжа — Коши.

Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли при стационарном движении. В последнем случае

и равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли

причем, как уже указывалось в § 25 гл. III, при безвихревом движении константа, стоящая в правой части, будет иметь одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механической энергии.

Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и объемных сил нет, то уравнение (12) принимает простой вид:

Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12), в случае безвихревого движения служит главным образом для выражения давления через кинематические элементы и координаты, от которых зависит Выражая V через проекции на оси декартовых координат, будем иметь:

В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил получим:

при наличии сил веса добавляется еще член

При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные величины — проекции скорости выражаются через одну неизвестную функцию — потенциал скоростей Принятое допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баротропности движения сводит решение задачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин Для этой цели достаточно двух уравнений.

В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы

которое по формуле

где символ означает оператор Лапласа

преобразуется к виду:

Совокупность уравнений (11) и (16) вместе с уравнением связи между плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую

систему уравнений движения; пользоваться непосредственно уравнениями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится.

Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разделяются: уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей

а давление найдется после этого из равенства (14), которое можно переписать в виде:

Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина: если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии соответствующего вихревого движения.

Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь лишь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, условимся обозначать символом разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следующее выражение для разницы кинетических энергий:

Первый интеграл справа равен

и по известной, неоднократно уже применявшейся формуле

может быть преобразован так:

где поверхность, ограничивающая односвязный объем, а дивергенция разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функций. По условию теоремы, движения на поверхности совпадают, т. е.

кроме того, из условия несжимаемости Таким образом, первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается равенство

из которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе еще теорему Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении (на "прямом пути") по сравнению с любым другим вихревым движением окольным путем), если только эти движения совпадают на границе области движения.

Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением несжимаемой жидкости внутри области является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревое!) сколь угодно медленное движение, при котором на границах скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величииы, должна быть тождественно равна нулю во всей области. К тому же результату можно придти и непосредственно, не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем общую формулу для кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей.

Имеем

Применим вновь только что использованную формулу дивергенции произведения скаляра на вектор (20), тогда получим:

В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной формуле Остроградского, под понимается орт шутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус.

Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно иметь

Из этой формулы сразу следует, что, если на ограничивающей односвязный объем жидкости поверхности о скорость равна нулю, то и откуда по (21) сразу будет следовать, что и Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина.

Невозможность существования безвихревого движения с однозначным потенциалом в односвязной области, на границе которой скорости равны нулю, производит на первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальнейшем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются и происходят за счет создания внутри объема некоторых "особенностей" вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков или диполей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и важность рассмотрения безвихревых потоков с "особенностями" для приближения к действительно существующим движениям.